系列文章目录

->第一章群的基本概念

文章目录

系列文章目录
前言
一、概论——简单介绍三个基础的数学难题
- 1.1 大整数因数分解问题
- 1.2 离散对数问题
- 1.3 椭圆曲线离散对数问题
- 1.4 我们要学习的内容
二、群——近世代数部分的开始
- 2.1 群的概念
- 2.2 群的例子
- - 2.2.1 整数上的加法运算
  - 2.2.2 实数域R上n阶一般线性群
  - 2.2.3 希尔密码的例子
- 2.3 子群
- 2.4 循环群
- 2.5 对称群
- - 2.5.1 置换的定义与对称群
  - 2.5.2 例子1——置换密码（位置映射，S是数字的集合，代表的位置）
  - - 2.5.2.1 置换密码的加密
    - 2.5.2.2 置换密码的解密
  - 2.5.3 例子2——代换密码（元素映射，S是字母符号的集合）
- 2.6 群上的离散对数

前言

现在是八月五日，昨天是快乐的七夕，但是八月22日就要开学了。计算机组成已经预习了七章，为了更好地应对下学期的考试课，这里在快开学的十几天提前预习以下密码学的先修课。唉，上学期的信息安全基础学的不是很明白，也没有怎么讲数学，听学长说下学期的密码学课很硬，还是有必要预习一下的。
这里是听的哈工大的《信息安全数学基础》的网课，这里是这里是传送门。毕竟这是门数学课，要插入不少公式，这里的笔记就简单记录一下，并不详细。

一、概论——简单介绍三个基础的数学难题

刚开始的这三个问题也只是简单介绍，后面学完了应该就知道了

1.1 大整数因数分解问题

1.2 离散对数问题

1.3 椭圆曲线离散对数问题

1.4 我们要学习的内容

二、群——近世代数部分的开始

集合上的二元运算：两个运算数都是S上的数字，运算的结果仍然是S上的数字

2.1 群的概念

群是需要具有封闭性的，这里的概念中没有写，是因为我们在上面定义二元运算的时候定义了封闭性
下图的“1”就是单位元

2.2 群的例子

2.2.1 整数上的加法运算

2.2.2 实数域R上n阶一般线性群

满足G1、G2、G3，即结合律、单位元以及逆元，但是不满足交换律

2.2.3 希尔密码的例子

这里对密钥的要求就是，密钥应该是在0~25的集合上的m阶方阵，这个方阵应该是可逆的，所以需要它的行列式不为0
定义以及加密过程如下：

实际运算的例子:
这里我们可以自己算一下，答案应该是：(16，17，19)，（q,r,t）
如果想要解密，可以对（y1y2⋅⋅⋅ymy_1 y_2···y_my1y2⋅⋅⋅ym）进行右乘一个逆矩阵

如何求逆？

2.3 子群

也是三个条件
第一，集合是子集合
第二，单位元在子集中
第三，子集合构成群

2.4 循环群

无限阶元素的概念：找不到一个整数n让a的n次幂等于单位元

2.5 对称群

2.5.1 置换的定义与对称群

这里的置换其实就是一个映射，这里我们定义，把所有置换的集合记作SnS_nSn
定义这所谓的SnS_nSn上的所有映射都可以进行乘积，乘积的形式如图所示
这个SnS_nSn集合，映射的乘法与1构成了n次对称群

2.5.2 例子1——置换密码（位置映射，S是数字的集合，代表的位置）

σ\sigmaσ这里是SmS_mSm上的一个元素，也就是一个置换
循环群的一个元素σ\sigmaσ是置换密码的一个密钥
但是古典密码不怎么用置换密码，因为很容易可以用频率攻击进行破解

2.5.2.1 置换密码的加密

这里看到置换密码的原则应该是，把第四个放到第一个，第一个放到第二个，第二个放到第三个，第三个放到第四个，四个一组地进行置换

2.5.2.2 置换密码的解密

置换密码的解密就是对σ\sigmaσ进行求逆，上下两行反转即可

2.5.3 例子2——代换密码（元素映射，S是字母符号的集合）

这里的置换是字母到字母的映射

2.6 群上的离散对数

这里要看明白PPT需要一些后面数论的知识，所有在这里只做简要介绍
下面是一个例子
模n乘的意思是先相乘后再模n
ZnZ_nZn是0~n-1的n个整数的集合
注意下面定义中的ZnZ_nZn和Zn∗Z_n^*Zn∗两者的区别，这个和后面学环的时候是否包含0的区别不同，这个带星号是指素数个元素，这里与别的地方星号含义不同，需要注意

这里对于有不同运算符号的群来说，如果是加法，那么对应离散对数问题的x次运算最后就是乘法

信息安全数学基础自学笔记1——群相关推荐

信息安全数学基础知识点学习笔记（一）
信息安全数学基础学习笔记(一) 第一章.整数的可除性整除的概念.欧几里得除法整除的概念素数的概念 Eratoshenes筛法欧几里得除法--最小非负余数素数的平凡判别欧几里得除法-- 一般 ...
软考信息安全工程师学习笔记目录
软考信息安全工程师学习笔记目录欢迎加入最棒的信息安全工程师社群,分享信息安全工程师备考干货资料. 备考交流QQ群:39460595 2019年软考信息安全工程师备考学习资料包 1.<信息安全工 ...
【V-REP自学笔记（八）】控制youBot抓取和移动物体
[V-REP自学笔记(八)]控制youBot抓取和移动物体 [导读] 在这一系列的V-REP自学笔记中,我们定了一个小目标,完成一个Demo.使用官方提供的KUKA公司的YouBot机器人模型来实验机 ...
我的Linux(ubuntu)自学笔记分享
** 我的Linux(ubuntu)自学笔记分享本人自学Linux有了好长一段时间,从最开始的无从下手.一窍不通到现在已经有很大的进步了.所以分享一下学习方法,第一最好买一本Linux书系统的学一下 ...
计算机数学基础教案,信息安全数学基础教案(禹勇)
教师教案 ( 2009-2010 学年第一学期 ) 课程名称:信息安全数学基础授课学时:40学时授课班级:信息安全专业,-60班任课教师:禹勇教师职称: ...
信息系统项目管理师-自学笔记
软考-信息系统项目管理自学笔记感谢卢海强老师编写时间2021-06-01 09:39:21 选择说明: 第一章,选择题大约占20分,要看教材的120页左右第2.4-12(项目管理).16(变更).2 ...
哈工大信息安全概论复习笔记(2)
哈工大信息安全概论复习笔记(2) 文章目录哈工大信息安全概论复习笔记(2) 考点八 RSA公钥算法考点九散列函数的特点和作用考点十 EMI.EMC.防电磁泄漏主要方法考点十一容错与容灾的概 ...
字节跳动大佬的Python自学笔记.pdf
1. 字节跳动大佬的Python自学笔记这是我的一个朋友自学资料包,通过这个资料包自学拿到了字节跳动的Offer, 下面是他之前入门学习Python时候的学习资料,非常全面,从Python基础.到w ...
JAVA自学笔记07
JAVA自学笔记07 1.构造方法 1) 例如:Student s = new Student();//构造方法 System.out.println(s);// Student@e5bbd6 2)功 ...
MySQL自学笔记2--select的5个子句
MySQL自学笔记使用的MySQL自带命令客户端,其中具体的操作是在自建的数据库下room303表中进行的,表中的列有:id.name.age.email.tel.salary.riqi.class ...

信息安全数学基础自学笔记1——群