线性代数 | (4) n维向量

前面我们学习了行列式和矩阵，主要研究了:行列式的计算，包括:2，3阶行列式的计算，n阶行列式的计算；关于矩阵，主要包括：矩阵的线性运算，矩阵的乘法运算，矩阵的转置运算，矩阵的秩，矩阵可逆的条件及逆阵的求法，分块矩阵及矩阵方程。初等变换-----最重要和最经常使用的工具。梯形阵，初等矩阵。

1. n维向量及其线性运算

2. 向量组的线性相关

3. 相关性判定定理

4. 相关性判定定理的证明

5. 向量组的极大无关组和秩

6. 向量组极大无关组与秩的求法

7. 向量空间

8. 向量组的正交性

1. n维向量及其线性运算

定义1

由数 $a_1,a_2,...,a_n$ 组成的有序数组，称为n维向量，简称为向量。向量通常用斜体希腊字母 $\alpha \beta \gamma$ 等表示。

定义2

$\alpha =(a_1,a_2,...,a_n)$ ,数值 $\sqrt{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}$ 称为向量 $\alpha$ 的长度或范数或模,记为 $||\alpha ||$ 。

n维向量的线性运算

线性组合

向量组等价

2. 向量组的线性相关

定义

让非零向量的系数为0，零向量的系数不为0，存在一组不全为0的数可以使得 $k_1\alpha_1+...+k_m\alpha_m=0$ ,所以线性相关。

讨论向量组的相关性

系数行列式=0，线性相关：

系数行列式 $\neq$ 0，说明有唯一零解，线性无关:

3. 相关性判定定理

定理1

下面证明唯一性：

定理3

在一个向量组中，若有一个部分向量组线性相关，则整个向量组也必定线性相关，反之不成立。

推论：一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都线性无关。

定理4

我们已经用三种方法做过上面这个题了：

1）用定义证明，若组合系数不全为0，则线性相关。

2）其中的一个向量，可以用剩余的向量线性表示，则线性相关。

3）将向量组排成矩阵（转换为梯形阵），由矩阵的秩决定。

推论：

定理5

4. 相关性判定定理的证明

定理4的证明

前m-1行，每一行乘以 $-k_i$ ,加到最后一行。

$r<m,r+1\leq m$ ,m个向量中的部分向量(r+1)线性相关，那么m个向量也线性相关。

定理5的证明

5. 向量组的极大无关组和秩

极大无关组

向量组的秩

向量组的等价

6. 向量组极大无关组与秩的求法

向量组秩的求法

极大无关组的求法

列摆行变换（把向量组摆成矩阵的各个列）

注意一定要列摆行变换，得到矩阵的秩就是向量组的秩。

我们已经看到:用矩阵可以解决向量组的问题，实际上，用向量组也可以解决矩阵的问题。

证明：

如果一个向量组中的每个向量可以由另一个向量组表示，那么该向量组的秩小于等于另一个向量组的秩。

练习

B的列向量线性无关等价于 B的列向量组的秩为n 等价于矩阵B的秩为n（列摆行变换）。

$n = r(E_n) = r(AB) \leq min\{r(A),r(B)\}/r(B) \leq min\{m,n\}/n$

$n\leq r(B)\leq n,r(B)=n$

7. 向量空间

向量空间及其子空间

向量空间的基与维数

向量在基下的坐标

矩阵方程法：

待定系数法：

8. 向量组的正交性

向量的内积

向量的夹角

$cos \theta = cos<\vec{\alpha},\vec{\beta}> \frac{\vec{\alpha}\vec{\beta}}{||\vec{\alpha}||||\vec{\beta}||}$

向量的正交性

正交向量组一定线性无关向量组，反之不成立。

向量组的正交规范化

正交矩阵

下面证明列向量组的情形：