【经典算法题】用两个鸡蛋和100层的楼来测鸡蛋硬度

前几天看到一个挺有意思的面试问题，据朋友说今年字节和Shopee都问过。
题目如下：

有2个鸡蛋，在总共有100层的楼上往下扔，以此来测试鸡蛋的硬度。比如鸡蛋在第9层没有摔碎，在第10层摔碎了，那么鸡蛋不会摔碎的临界点就是9层。
问：如何用最少的尝试次数，测试出鸡蛋不会摔碎的临界点？

朋友给了一个文档，里面收集了一部分今年大厂的智力题和解答，对于这题有详细的分析和解答，但是并不全面，尤其是在确定第一次扔鸡蛋的楼层数上。
--------------------下面是我的解答，可供参考--------------------
（一）二分法

这题要求最少的尝试次数，就是想出一种方案，可以让测试次数最少，而且这个次数是该方案下最坏的情况所需的次数。

首先把一枚鸡蛋从一半的楼高即50层往下扔。
如果第一枚鸡蛋在50层高就碎了，那第二枚鸡蛋就只能从第1层开始扔，不然碎了就没鸡蛋了，然后一直往上加楼层，最坏的情况是扔到第49层，共计50次。

如果第一枚鸡蛋在50层没碎，则继续使用二分法，在剩余楼层的一半（75层）往下扔，然后再区分碎与不碎的情况。。。。。。

后面无论什么情况，这种方法在最坏情况就是50次，显然最少次数不会这么大。

（二）区间平分法

考虑到第一种方法次数那么多，而且主要是因为第一次扔的楼层很高，那能不能降低第一次扔的楼层高度呢，但是太低的话（比如一楼开始扔），后面又得花费很多次了。让我们先看看把100层均匀分成10分的情况吧。

第一次在10层的位置扔，如果碎了，就从一楼开始扔，这样就只需要十次；但是第一次扔如果没碎，那最坏的情况就是到第100层的时候鸡蛋碎了，此时已经扔了10次（10,20,30…100），那就只能拿第二个鸡蛋从91层开始，一直到99，这样共计是19次。

我当时还想到，要是在第90层没碎的话，那就把90到100间二分一下，第二次从95层扔，要是碎了，那第二个鸡蛋就从91,92，93,94，总共14次，要是没碎，就继续二分，但关键就是，万一在第90层的时候就碎了呢，或者在第80层的时候就碎了呢，这个题目要给出最少次数，必须得考虑所有最坏的情况。

第一个鸡蛋碎与不碎、第一次扔的楼高、第二次，第三次以及后面每一次扔鸡蛋的楼高都能明显影响结果，既然情况这么复杂，那干脆就直接假设本题中最少尝试次数为x次，即鸡蛋硬度测试的最优方案下的最大次数是x次。

（三）假设法

这是一种逆行解法，我们假设已经知道最少尝试次数为x次。那么我们需要进一步确认第一次在哪一层扔鸡蛋。

1.显然，第一次扔的层数不能大于x，即不能从x+1及更上面的楼扔，因为如果第一个鸡蛋碎了，后面又得从一楼开始扔，这时尝试次数就是x+1及更大的数（比如第一次在第x+1层扔，碎了，那第二个鸡蛋最坏情况下得从1楼扔到x层，此时共计尝试1+x次），这与我们的假设相违背。

2.既然x次是最优方案最坏的情况，那我们干脆第一次在第x层扔。若第一个鸡蛋碎了，那最坏情况就是就从1楼一直扔到x-1楼，共计1+（x-1）=x 次。那如果没碎，怎么保证后面总计次数不超过x次呢？

按照上面的逻辑，第二次扔鸡蛋的楼高不能超过 x+(x-1)，因为前面已经用过一次机会了，后面不能超过x-1次。此时最坏的情况就是，第一次在x层扔鸡蛋没碎，第二次在x+x-1层扔时碎了，那就得从第x+1层往上扔，这样总共次数为1+x-1=x次，没有超过，而且刚好为x次，按照这个逻辑，后面继续保持最少尝试次数为x次去找楼层（因为我们要考虑最坏的情况，在这个情况下，次数为x次）

那第三次就是只剩下x-2次机会，那我们在第
**x+（x-1）+（x-2）**层扔。一直扔到100。那么就有：

x+（x-1）+（x-2）+（x-3）+…+1 = 100 (1)

//最后一项为1是因为最后肯定会只剩1次尝试机会，若鸡蛋只在100层碎，那么左边加起来就是100，即最后一次扔鸡蛋是在第100层

按照前面每次选楼层的逻辑，此时总共尝试的次数就是x次，所以左边是x项。
则有数列求和

*(x+1)x / 2 = 100 (2)

解出x为小数，向上取整为x = 14。

//因为x得往大取整，(1)式左边才会大于100。又或者试想一下，左边项数必须小于x次，列出不等式（1）≤ *(x+1)x / 2，解出x > 13.72

那么这个时候，每次扔鸡蛋的楼层可以取值为

14，27， 39， 50， 60， 69， 77， 84， 90， 95， 99， 100
共12个数

可以尝试验证，比如鸡蛋在68层会碎，则在69时碎了，此时尝试6次，再拿第二个鸡蛋从61开始到68碎了，此时8次，共计14次，这时得到鸡蛋不会碎的临界层数是67层。

3.如果第一次扔的层数不是x次呢，显然也是可以的，比如x-1层，大家可以按照2的思路尝试算一下，发现x解出来也是14。我们可以假设第一次在第14-m层扔鸡蛋，后面也是按照2的思路，第二次只有13次机会，所以从**(14-m)+13**层扔，依次类推，可以解出105-m ≥ 100，所以m ≤ 5，即第一次从14、13、12、11、10、9层扔都是可以的。
如果第一次从第9层开始扔，那么每次的层数取值可以为

9、22、34、45、55、64、72、79、85、90、94、97、99、100
总共14个数

可以验证最大次数也是14。

4.扩展

如果第二次不按照x+x-1层来扔呢，而是按照小于这个层数来扔会怎么样，其实一样的，后面也是能变化的，但是最后加起来也是100，并且保证扔鸡蛋的次数最多还是14次，这样后面的层数也不能选太小，可见扔鸡蛋的方案还是很多的并不止
14，27， 39， 50， 60， 69， 77， 84， 90， 95， 99， 100 这一种

感觉这个假设法并不一定逻辑最严密，可能还有更严谨的解法。

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