定义

递推式：

C(n+1)=∑i=1nC(i)∗C(n−i)C(n+1)=∑i=1nC(i)∗C(n−i)

C(n+1)=\sum_{i=1}^{n}C(i)*C(n-i)
其中 C(1)=C(0)=1C(1)=C(0)=1C(1)=C(0)=1

通项公式：

C(n)=Cn2nn+1C(n)=C2nnn+1

C(n)=\frac {C^n_{2n}}{n+1}
等式右边的 CCC表示组合数。

常见问题

有一个数列由两种数x" role="presentation">xxx和 yyy组成。其中x" role="presentation">xxx和 yyy的总个数相等。对于每一个位置，包括它之前y" role="presentation">yyy的出现次数均不大于 xxx的出现次数。求长度为2n" role="presentation">2n2n2n的这种数列的方案数。

我们把这个数列投到坐标系里。刚开始在原点，横坐标是下标，当前位置为xxx时纵坐标+1，为y" role="presentation">yyy时纵坐标-1。可以发现这个图像一定在第一象限，且因为xxx和y" role="presentation">yyy个数相等，最终一定在(2n,0)(2n,0)(2n,0)点。

设取到第nnn个位置时落在x" role="presentation">xxx轴的方案数为C(n)C(n)C(n)，我们把取的过程分成两部分：第一部分为原点到再次落在xxx轴上的步数i" role="presentation">iii（i可以为0），第二部分为从iii到(n,0)" role="presentation">(n,0)(n,0)(n,0)的步数。第一部分的方案数为C(i)C(i)C(i)，第二部分的方案数为C(n−i−1)C(n−i−1)C(n-i-1)（因为第二部分的第一步和最后一步是确定的）。递推式即为C(n)=∑n−1i=1C(i)∗C(n−i−1)C(n)=∑i=1n−1C(i)∗C(n−i−1)C(n)=\sum_{i=1}^{n-1}C(i)*C(n-i-1)，转化一下即为C(n+1)=∑ni=1C(i)∗C(n−i)C(n+1)=∑i=1nC(i)∗C(n−i)C(n+1)=\sum_{i=1}^{n}C(i)*C(n-i)，就是Catalan第nnn项。

第二种方法是把总方案-不合法方案。总方案为C2nn" role="presentation">Cn2nC2nnC_{2n}^n，不合法方案即为长度为2n2n2n的数列取n−1n−1n-1个xxx的情况，也就是C2nn−1" role="presentation">Cn−12nC2nn−1C_{2n}^{n-1}，而Cn2n−Cn−12n=Cn2n−nCn2nn+1=Cn2nn+1C2nn−C2nn−1=C2nn−nC2nnn+1=C2nnn+1C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}=C_{2n}^n-\frac{nC_{2n}^n}{n+1}=\frac{C_{2n}^n}{n+1}，这也就是Catalan的通项公式

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