最小生成树

用来解决工程中的代价问题。

一：普里姆算法

具体代码用C语言实现如下：

typedef int VRType;typedef char InfoType;#define MAX_NAME 3 /* 顶点字符串的最大长度+1 */#define MAX_INFO 20 /* 相关信息字符串的最大长度+1 */typedef char VertexType[MAX_NAME];
#include<string.h>#include<ctype.h>#include<malloc.h> /* malloc()等 */#include<limits.h> /* INT_MAX等 */#include<stdio.h> /* EOF(=^Z或F6),NULL */#include<stdlib.h> /* atoi() */#include<io.h> /* eof() */#include<math.h> /* floor(),ceil(),abs() */#include<process.h> /* exit() *//* 函数结果状态代码 */#define TRUE 1#define FALSE 0#define OK 1#define ERROR 0#define INFEASIBLE -1typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */typedef int Boolean; /* Boolean是布尔类型,其值是TRUE或FALSE */#define MAX_NAME 5 /* 顶点字符串的最大长度 */typedef int InfoType;typedef char VertexType[MAX_NAME]; /* 字符串类型 *//* 图的邻接表存储表示 */#define MAX_VERTEX_NUM 20typedef enum{DG,DN,AG,AN}GraphKind; /* {有向图,有向网,无向图,无向网} */typedef struct ArcNode{int adjvex; /* 该弧所指向的顶点的位置 */struct ArcNode *nextarc; /* 指向下一条弧的指针 */InfoType *info; /* 网的权值指针） */}ArcNode; /* 表结点 */typedef struct{VertexType data; /* 顶点信息 */ArcNode *firstarc; /* 第一个表结点的地址,指向第一条依附该顶点的弧的指针 */}VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM]; /* 头结点 */typedef struct{AdjList vertices;int vexnum,arcnum; /* 图的当前顶点数和弧数 */int kind; /* 图的种类标志 */}ALGraph;/* 图的邻接表存储的基本操作(15个) */int LocateVex(ALGraph G,VertexType u){ /* 初始条件: 图G存在,u和G中顶点有相同特征 *//* 操作结果: 若G中存在顶点u,则返回该顶点在图中位置;否则返回-1 */int i;for(i=0;i<G.vexnum;++i)if(strcmp(u,G.vertices[i].data)==0)    //比较顶点是否相等return i;return -1;}Status CreateGraph(ALGraph *G){ /* 采用邻接表存储结构,构造没有相关信息的图G(用一个函数构造4种图) */int i,j,k;int w; /* 权值 */VertexType va,vb;ArcNode *p;printf("请输入图的类型(有向图:0,有向网:1,无向图:2,无向网:3): ");scanf("%d",&(*G).kind);printf("请输入图的顶点数,边数: ");scanf("%d,%d",&(*G).vexnum,&(*G).arcnum);printf("请输入%d个顶点的值(<%d个字符):\n",(*G).vexnum,MAX_NAME);for(i=0;i<(*G).vexnum;++i) /* 构造顶点向量 */{scanf("%s",(*G).vertices[i].data);(*G).vertices[i].firstarc=NULL;}if((*G).kind==1||(*G).kind==3) /* 网 */printf("请顺序输入每条弧(边)的权值、弧尾和弧头(以空格作为间隔):\n");else /* 图 */printf("请顺序输入每条弧(边)的弧尾和弧头(以空格作为间隔):\n");for(k=0;k<(*G).arcnum;++k) /* 构造表结点链表 */{if((*G).kind==1||(*G).kind==3) /* 网 */scanf("%d%s%s",&w,va,vb);else /* 图 */scanf("%s%s",va,vb);i=LocateVex(*G,va); /* 弧尾 */j=LocateVex(*G,vb); /* 弧头 */p=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));p->adjvex=j;if((*G).kind==1||(*G).kind==3) /* 网 */{p->info=(int *)malloc(sizeof(int));*(p->info)=w;                         //网的权值指针}elsep->info=NULL; /* 图 */p->nextarc=(*G).vertices[i].firstarc; /* 插在表头 */(*G).vertices[i].firstarc=p;if((*G).kind>=2) /* 无向图或网,产生第二个表结点 */{p=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));p->adjvex=i;if((*G).kind==3) /* 无向网 */{p->info=(int*)malloc(sizeof(int));*(p->info)=w;}elsep->info=NULL; /* 无向图 */p->nextarc=(*G).vertices[j].firstarc; /* 插在表头 */(*G).vertices[j].firstarc=p;}}return OK;}void DestroyGraph(ALGraph *G){ /* 初始条件: 图G存在。操作结果: 销毁图G */int i;ArcNode *p,*q;(*G).vexnum=0;(*G).arcnum=0;for(i=0;i<(*G).vexnum;++i){p=(*G).vertices[i].firstarc;                 //第一个表结点的地址，头结点while(p){q=p->nextarc;if((*G).kind%2) /* 网 */free(p->info);free(p);p=q;}}}VertexType* GetVex(ALGraph G,int v){ /* 初始条件: 图G存在,v是G中某个顶点的序号。操作结果: 返回v的值 */if(v>=G.vexnum||v<0)exit(ERROR);return &G.vertices[v].data;}Status PutVex(ALGraph *G,VertexType v,VertexType value){ /* 初始条件: 图G存在,v是G中某个顶点 *//* 操作结果: 对v赋新值value */int i;i=LocateVex(*G,v);               //先找到该顶点if(i>-1) /* v是G的顶点 */{strcpy((*G).vertices[i].data,value);return OK;}return ERROR;}int FirstAdjVex(ALGraph G,VertexType v){ /* 初始条件: 图G存在,v是G中某个顶点 *//* 操作结果: 返回v的第一个邻接顶点的序号。若顶点在G中没有邻接顶点,则返回-1 */ArcNode *p;int v1;v1=LocateVex(G,v); /* v1为顶点v在图G中的序号 */p=G.vertices[v1].firstarc;if(p)return p->adjvex;elsereturn -1;}int NextAdjVex(ALGraph G,VertexType v,VertexType w){ /* 初始条件: 图G存在,v是G中某个顶点,w是v的邻接顶点 *//* 操作结果: 返回v的(相对于w的)下一个邻接顶点的序号。 *//*           若w是v的最后一个邻接点,则返回-1 */ArcNode *p;int v1,w1;v1=LocateVex(G,v); /* v1为顶点v在图G中的序号 */w1=LocateVex(G,w); /* w1为顶点w在图G中的序号 */p=G.vertices[v1].firstarc;while(p&&p->adjvex!=w1) /* 指针p不空且所指表结点不是w */p=p->nextarc;if(!p||!p->nextarc) /* 没找到w或w是最后一个邻接点 */return -1;else /* p->adjvex==w */return p->nextarc->adjvex; /* 返回v的(相对于w的)下一个邻接顶点的序号 */}void InsertVex(ALGraph *G,VertexType v){ /* 初始条件: 图G存在,v和图中顶点有相同特征 *//* 操作结果: 在图G中增添新顶点v(不增添与顶点相关的弧,留待InsertArc()去做) */strcpy((*G).vertices[(*G).vexnum].data,v); /* 构造新顶点向量 */(*G).vertices[(*G).vexnum].firstarc=NULL;(*G).vexnum++; /* 图G的顶点数加1 */}Status DeleteVex(ALGraph *G,VertexType v){ /* 初始条件: 图G存在,v是G中某个顶点 *//* 操作结果: 删除G中顶点v及其相关的弧 */int i,j;ArcNode *p,*q;j=LocateVex(*G,v); /* j是顶点v的序号 */if(j<0) /* v不是图G的顶点 */return ERROR;p=(*G).vertices[j].firstarc; /* 删除以v为出度的弧或边 */while(p){q=p;p=p->nextarc;if((*G).kind%2) /* 网 */free(q->info);free(q);(*G).arcnum--; /* 弧或边数减1 */}(*G).vexnum--; /* 顶点数减1 */for(i=j;i<(*G).vexnum;i++) /* 顶点v后面的顶点前移 */(*G).vertices[i]=(*G).vertices[i+1];for(i=0;i<(*G).vexnum;i++) /* 删除以v为入度的弧或边且必要时修改表结点的顶点位置值 */{p=(*G).vertices[i].firstarc; /* 指向第1条弧或边 */while(p) /* 有弧 */{if(p->adjvex==j){if(p==(*G).vertices[i].firstarc) /* 待删结点是第1个结点 */{(*G).vertices[i].firstarc=p->nextarc;if((*G).kind%2) /* 网 */free(p->info);free(p);p=(*G).vertices[i].firstarc;if((*G).kind<2) /* 有向 */(*G).arcnum--; /* 弧或边数减1 */}else{q->nextarc=p->nextarc;if((*G).kind%2) /* 网 */free(p->info);free(p);p=q->nextarc;if((*G).kind<2) /* 有向 */(*G).arcnum--; /* 弧或边数减1 */}}else{if(p->adjvex>j)p->adjvex--; /* 修改表结点的顶点位置值(序号) */q=p;p=p->nextarc;}}}return OK;}Status InsertArc(ALGraph *G,VertexType v,VertexType w){ /* 初始条件: 图G存在,v和w是G中两个顶点 *//* 操作结果: 在G中增添弧<v,w>,若G是无向的,则还增添对称弧<w,v> */ArcNode *p;int w1,i,j;i=LocateVex(*G,v); /* 弧尾或边的序号 */j=LocateVex(*G,w); /* 弧头或边的序号 */if(i<0||j<0)return ERROR;(*G).arcnum++; /* 图G的弧或边的数目加1 */if((*G).kind%2) /* 网 */{printf("请输入弧(边)%s→%s的权值: ",v,w);scanf("%d",&w1);}p=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));p->adjvex=j;if((*G).kind%2) /* 网 */{p->info=(int*)malloc(sizeof(int));*(p->info)=w1;}elsep->info=NULL;p->nextarc=(*G).vertices[i].firstarc; /* 插在表头 */(*G).vertices[i].firstarc=p;if((*G).kind>=2) /* 无向,生成另一个表结点 */{p=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));p->adjvex=i;if((*G).kind==3) /* 无向网 */{p->info=(int*)malloc(sizeof(int));*(p->info)=w1;}elsep->info=NULL;p->nextarc=(*G).vertices[j].firstarc; /* 插在表头 */(*G).vertices[j].firstarc=p;}return OK;}Status DeleteArc(ALGraph *G,VertexType v,VertexType w){ /* 初始条件: 图G存在,v和w是G中两个顶点 *//* 操作结果: 在G中删除弧<v,w>,若G是无向的,则还删除对称弧<w,v> */ArcNode *p,*q;int i,j;i=LocateVex(*G,v); /* i是顶点v(弧尾)的序号 */j=LocateVex(*G,w); /* j是顶点w(弧头)的序号 */if(i<0||j<0||i==j)return ERROR;p=(*G).vertices[i].firstarc; /* p指向顶点v的第一条出弧 */while(p&&p->adjvex!=j) /* p不空且所指之弧不是待删除弧<v,w> */{ /* p指向下一条弧 */q=p;p=p->nextarc;}if(p&&p->adjvex==j) /* 找到弧<v,w> */{if(p==(*G).vertices[i].firstarc) /* p所指是第1条弧 */(*G).vertices[i].firstarc=p->nextarc; /* 指向下一条弧 */elseq->nextarc=p->nextarc; /* 指向下一条弧 */if((*G).kind%2) /* 网 */free(p->info);free(p); /* 释放此结点 */(*G).arcnum--; /* 弧或边数减1 */}if((*G).kind>=2) /* 无向,删除对称弧<w,v> */{p=(*G).vertices[j].firstarc; /* p指隙サ鉾的第一条出弧 */while(p&&p->adjvex!=i) /* p不空且所指之弧不是待删除弧<w,v> */{ /* p指向下一条弧 */q=p;p=p->nextarc;}if(p&&p->adjvex==i) /* 找到弧<w,v> */{if(p==(*G).vertices[j].firstarc) /* p所指是第1条弧 */(*G).vertices[j].firstarc=p->nextarc; /* 指向下一条弧 */elseq->nextarc=p->nextarc; /* 指向下一条弧 */if((*G).kind==3) /* 无向网 */free(p->info);free(p); /* 释放此结点 */}}return OK;}typedef struct{ /* 记录从顶点集U到V-U的代价最小的边的辅助数组定义 */VertexType adjvex;VRType lowcost;}minside[MAX_VERTEX_NUM];int minimum(minside SZ,MGraph G){ /* 求closedge.lowcost的最小正值 */int i=0,j,k,min;while(!SZ[i].lowcost)i++;min=SZ[i].lowcost; /* 第一个不为0的值 */k=i;for(j=i+1;j<G.vexnum;j++)if(SZ[j].lowcost>0)if(min>SZ[j].lowcost){min=SZ[j].lowcost;k=j;}return k;}void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G,VertexType u){ /* 用普里姆算法从第u个顶点出发构造网G的最小生成树T,输出T的各条边 算法7.9 */int i,j,k;minside closedge;k=LocateVex(G,u);for(j=0;j<G.vexnum;++j) /* 辅助数组初始化 */{if(j!=k){strcpy(closedge[j].adjvex,u);closedge[j].lowcost=G.arcs[k][j].adj;}}closedge[k].lowcost=0; /* 初始,U={u} */printf("最小代价生成树的各条边为:\n");for(i=1;i<G.vexnum;++i){ /* 选择其余G.vexnum-1个顶点 */k=minimum(closedge,G); /* 求出T的下一个结点：第K顶点 */printf("(%s-%s)\n",closedge[k].adjvex,G.vexs[k]); /* 输出生成树的边 */closedge[k].lowcost=0; /* 第K顶点并入U集 */for(j=0;j<G.vexnum;++j)if(G.arcs[k][j].adj<closedge[j].lowcost){ /* 新顶点并入U集后重新选择最小边 */strcpy(closedge[j].adjvex,G.vexs[k]);closedge[j].lowcost=G.arcs[k][j].adj;}}}void main(){MGraph G;CreateAN(&G);MiniSpanTree_PRIM(G,G.vexs[0]);}

注意：普里姆算法的时间复杂度为O()，与网中的边数无关，因此适用于求边稠密的网的最小生成树。

二：克鲁斯卡尔算法

分析过程：在网中先选取最小边，继续找下一条次小边，如果和已选的边构成回路则舍弃，继续寻找直到所有顶点。

克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(e*)。
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