SRM高维特征隐写分析原理与应用

一、SRM简介

SRM(Spatial Rich Model) 为基于空域富模型的隐写分析方法，由Fridrich等人^[1] 提出，主要用于空域编码图像的隐写分析，在基于传统的提取手工特征的方式中占据主流地位。SRM采用了多个子模型(sub-model)以提取更多类型的特征，使得能够更好地表征隐写对邻域像素多种相关性的破坏。所谓“子模型”，指的是图像经过特定的滤波后再提取相应特征，由于邻域相关性可以通过局部像素之间的预测误差表示，这里滤波一般指输出这种预测误差的操作，这类误差一般被称为残差(residuals)。

二、特征提取步骤

设 X = ( X i , j ) ∈ { 0 , ⋯ , 255 } n 1 × n 2 X=(X_{i,j})\in \{ 0, \cdots, 255 \}^{n_{1}\times n_{2}} X=(Xi,j)∈{0,⋯,255}n1×n2表示灰度图像像素或彩色图像亮度域像素，SRM特征的提取一般分为以下几个步骤。

1、计算残差
通过以下公式计算残差 R = ( R i , j ) ∈ R n 1 × n 2 R=(R_{i,j})\in \mathbb{R^{n_{1}\times n_{2}}} R=(Ri,j)∈Rn1×n2。 R i , j = X i , j ^ ( N i , j ) − c X i , j R_{i,j}=\hat{X_{i,j}}(N_{i,j})-cX_{i,j} Ri,j=Xi,j^(Ni,j)−cXi,j 其中， N i , j N_{i,j} Ni,j为 X i , j X_{i,j} Xi,j的若干邻域像素， X i , j ^ ( N i , j ) \hat{X_{i,j}}(N_{i,j}) Xi,j^(Ni,j)通过该邻域来预测 c X i , j cX_{i,j} cXi,j。由于一般 N i , j N_{i,j} Ni,j中像素的数量等于 c c c， c ∈ N c\in \mathbb{N} c∈N被称为残差阶(residual order)。以上计算残差的滤波按照水平和垂直两个方向分别计算。

2、量化与截断
将以上实数残差 R i , j R_{i,j} Ri,j进行以下量化与截断。 R i , j ← t r u n c T ( r o u n d ( R i , j q ) ) t r u n c T ( x ) = { x , x ∈ [ − T , T ] T s i g n ( x ) , x ∉ [ − T , T ] R_{i,j} \leftarrow trunc_{T}\left( round\left(\frac{R_{i,j}}{q} \right)\right) \quad\quad trunc_{T}(x)=\begin{cases}x,&x\in[-T,T] \\ Tsign(x),&x\notin[-T,T] \end{cases} Ri,j←truncT(round(qRi,j))truncT(x)={x,Tsign(x),x∈[−T,T]x∈/[−T,T] 其中， q q q为量化步长。截断操作的意义是：一方面，隐写分析对相关性较强、残差较小的区域更感兴趣；另一方面，将残差截断有利于降低最后提取特征的维度。

3、统计共生矩阵(co-occurrence matrix)
SRM特征最终表现为在每个子模型下以上截断残差的4阶联合分布形式，即残差水平或垂直方向上4个连续样点 d = ( d 1 , d 2 , d 3 , d 4 ) ∈ τ 4 ≜ { − T , ⋯ , T } 4 d=(d_{1},d_{2},d_{3},d_{4})\in \tau_{4} \triangleq \{-T,\cdots,T\}^{4} d=(d1,d2,d3,d4)∈τ4≜{−T,⋯,T}4的联合分布概率估计。水平方向的估计为： C d ( h ) = 1 Z ∣ { ( R i , j , R i , j + 1 , R i , j + 2 , R i , j + 3 , ) ∣ R i , j + k − 1 = d k , k = 1 , ⋯ , 4 , } C_{d}^{(h)}=\frac{1}{Z}|\{(R_{i,j},R_{i,j+1},R_{i,j+2},R_{i,j+3},)|R_{i,j+k-1}=d_{k},k=1,\cdots ,4,\} Cd(h)=Z1∣{(Ri,j,Ri,j+1,Ri,j+2,Ri,j+3,)∣Ri,j+k−1=dk,k=1,⋯,4,}其中，Z是全部出现情况的总数量，它作为归一化的参数使得 ∑ d ∈ τ 4 C d ( h ) = 1 \sum_{d\in \tau_{4}}C_{d}^{(h)}=1 ∑d∈τ4Cd(h)=1，由此构成的4阶矩阵被称为4阶共生矩阵，垂直方向的共生矩阵 C d ( v ) C_{d}^{(v)} Cd(v)的计算过程类似。

三、核心技术解析

图1 SRM残差滤波核示意：黑圆点为被预测点，其他用于预测，不同形状点代表不同预测方法，最大值与最小值在不同预测值之间选择；3阶残差(3a)~(3h)未给出，但不难基于公式 R i ， j = − X i , j + 2 + 3 X i , j + 1 , X i , j − 1 − 3 X i , j R_{i，j}=-X_{i,j+2}+3X_{i,j+1},X_{i,j-1}-3X_{i,j} Ri，j=−Xi,j+2+3Xi,j+1,Xi,j−1−3Xi,j绘制;(E5a)-(E5d)未给出，但与(E3a)-(E3d)类似，但需将各个边长扩大为5;

1、各种类型的残差计算
残差主要包括一阶、二阶、三阶、SQUARE、EDGE3×3、EDGE5×5共6类，每类残差中又分为线性滤波残差与非线性滤波残差；图1分别描绘了部分残差的计算方法。
线性残差计算：
（1）一阶残差：用一个相邻像素预测当前像素的误差，如图1中(1a)描述的残差是 R i , j = X i , j + 1 − X i , j R_{i,j}=X_{i,j+1}-X_{i,j} Ri,j=Xi,j+1−Xi,j。
（2）二阶残差：用两个相邻像素预测当前像素的误差，如图1中(2a)描述的残差是 R i , j = X i , j − 1 + X i , j + 1 − 2 X i , j R_{i,j}=X_{i,j-1}+X_{i,j+1}-2X_{i,j} Ri,j=Xi,j−1+Xi,j+1−2Xi,j。
（3）三阶残差：用三个相邻像素预测当前像素的误差，与二阶残差类似， R i , j = − X i , j + 2 + 3 X i , j + 1 + X i , j − 1 − 3 X i , j R_{i,j}=-X_{i,j+2}+3X_{i,j+1}+X_{i,j-1}-3X_{i,j} Ri,j=−Xi,j+2+3Xi,j+1+Xi,j−1−3Xi,j。
（4）SQUARE、EDGE3×3、EDGE5×5残差：在计算中使用了更多方向的邻域像素。其中，3×3和5×5的SQUARE核分别为： [ − 1 2 − 1 2 − 4 2 − 1 2 − 1 ] [ − 1 2 − 2 2 − 1 2 − 6 8 − 6 2 − 2 8 − 12 8 − 1 2 − 6 8 − 6 2 − 1 2 − 2 2 − 1 ] \begin{bmatrix} -1 & 2 & -1\\ 2 & -4 & 2 \\ -1 & 2 & -1 \end{bmatrix} \quad\quad \begin{bmatrix} -1 & 2 & -2 & 2 & -1 \\ 2 & -6 & 8 & -6 & 2 \\ -2 & 8 & -12 & 8 & -1 \\ 2 & -6 & 8 & -6 & 2 \\ -1 & 2 & -2 & 2 & -1 \end{bmatrix} ⎣⎡−12−12−42−12−1⎦⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎡−12−22−12−68−62−28−128−22−68−62−12−12−1⎦⎥⎥⎥⎥⎤EDGE3×3和EDGE5×5的核分别为： [ 2 − 1 − 4 2 2 − 1 ] [ − 2 2 − 1 8 − 6 2 − 12 8 − 2 8 − 6 2 − 2 2 − 1 ] \begin{bmatrix} 2 & -1\\ -4 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \quad\quad \begin{bmatrix} -2 & 2 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -12 & 8 & -2 \\ 8 & -6 & 2 \\ -2 & 2 & -1 \end{bmatrix} ⎣⎡2−42−12−1⎦⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎡−28−128−22−68−62−12−22−1⎦⎥⎥⎥⎥⎤
非线性残差计算： 通过求取两个或更多线性滤波残差的最大值或最小值得到的，“子类型名标识”中的滤波器数就是指求极值前使用的线性滤波器数量，对应除黑圆点外不同形状点的数量。

2、残差的方向性与对称性
如果将图像旋转90^。后，残差未发生变化，则认为其无方向性，否则认为有方向性。如果将图像旋转90^。后，共生矩阵未发生变化，则称相应残差水平与垂直对称，无方向性残差具有这种对称性。

3、子类型残差命名与共生矩阵计数
子类型名为： n a m e = { t y p e } { f } { σ } { s c a n } name=\{type\}\{f\}\{\sigma\}\{scan\} name={type}{f}{σ}{scan}，其中，type为前面六大类残差下的子类型名，只有spam与minmax两种。 f f f表示使用的线性滤波函数，即图1中单个子模型中除黑圆点外其它记号的数量； σ \sigma σ表示对称指数(symmetry index)，它指通过旋转图像能带来的不同种类残差数； s c a n scan scan表示残差计算方向，即图1中的 h h h(水平)、 v v v(垂直)。

由此，一阶残差由22个共生矩阵，每个对应一个类型的残差或子模型。其中图1的(1a)、(1c)、(1e)、(1f)、(1h)各2个，(1b)、(1d)、(1g)各4个；同理，三阶残差也有22个共生矩阵；二阶残差共有12个共生矩阵，图1的(2a)、(2b)、(2c)、(2e)各2个，(2d)有4个。SQUARE有2个共生矩阵，对应图1中的(S3a)、(S5a)；EDGE3×3和EDGE5×5均有10个共生矩阵，图1的(E3a)、(E3b)、(E3d)各2个，(E3c)有4个。因此，总共有22+12+22+2+10+10=78个共生矩阵。

4、共生矩阵对称性的利用
一般认为，负残差图像(按照均值轴线向符号相反方向对称映射)的统计特性基本不变，即正负符号对称；图像信号在相反扫描方向上统计特性基本一致，即有扫描方向对称。因此，对spam子类型的4阶共生矩阵可以进行以下合并：
C ‾ d ← C d + C − d C ‾ ‾ d ← C d + C − d \overline{C}_{d}\leftarrow C_{d}+C_{-d} \quad \quad \overline{\overline{C}}_{d}\leftarrow C_{d}+C_{-d} Cd←Cd+C−dCd←Cd+C−d其中， − d = ( − d 1 , − d 2 , − d 3 , − d 4 ) -d=(-d_{1},-d_{2},-d_{3},-d_{4}) −d=(−d1,−d2,−d3,−d4)； d ← = ( d 4 , d 3 , d 2 , d 1 ) \overleftarrow d=(d_{4},d_{3},d_{2},d_{1}) d =(d4,d3,d2,d1)。当 T = 2 T=2 T=2时，以上合并使spam残差共生矩阵元素的数量从625下降为169。
对于minmax类型可以进行以下合并：
C ‾ d ← C d ( m i n ) + C − d ( m a x ) C ‾ ‾ d ← C ‾ d + C ‾ − d ← \overline{C}_{d}\leftarrow C_{d}^{(min)}+C_{-d}^{(max)} \quad \quad \overline{\overline{C}}_{d}\leftarrow \overline{C}_{d}+\overline{C}_{{- \overleftarrow d}} Cd←Cd(min)+C−d(max)Cd←Cd+C−d 其中， C D ( m i n ) C_{D}^{(min)} CD(min)与 C D ( m a x ) C_{D}^{(max)} CD(max)是类型相同残差的共生矩阵，这意味着min与max残差共生矩阵可以合并。当 T = 2 T=2 T=2时，以上合并将每类min与max残差共生矩阵元素的数量从 2 × 625 2 \times 625 2×625下降为 1 × 325 1 \times 325 1×325。

4、量化步长的确定
残差的阶 c c c是被预测像素值的倍数，因此，量化步长 q q q的选择与它相关。在论文中，考虑到用多个量化步长进一步丰富特征的表达能力，因此取 q ∈ [ c , 2 c ] q\in [c,2c] q∈[c,2c]并满足 q ∈ { { c , 1.5 c , 2 c } , c > 1 { 1 , 2 } , c = 1 q \in \begin{cases}\{c,1.5c,2c\},&c>1 \\ \{1,2\},&c=1 \end{cases} q∈{{c,1.5c,2c},{1,2},c>1c=1因此，对一阶残差有两个量化步长，对其他大类残差有3个，这样，当T=2时，共生矩阵的特征总维数是 2 × ( 2 × 169 + 10 × 325 ) + 3 × ( 10 × 169 + 23 × 325 ) = 34671 2\times(2\times169+10\times325)+3\times(10\times169+23\times325)=34671 2×(2×169+10×325)+3×(10×169+23×325)=34671

参考文献
[1]Fridrich J,Kodovsky J. Rich models for steganalysis of digital images. IEEE Transactions on Information Forensics and Security,2012,7(3):868-882.
[2]http://dde.binghamton.edu/download/feature_extractors/.
[3]赵险峰,张宏.隐写学原理与技术[M].北京:科学出版社,2018:127-132.