透视变换（perspective transformation）和射影（投影）变换（projective transformation）

透视变换（perspective transformation）和射影（投影）变换（projective transformation）
0几点说明
投影和变换的区别。
投影分为：平行投影或者正射投影（parallel projection ）和透视投影（perspective projection）。
平行投影对应于带有假想视点的透视投影；也就是说，相机位于离物体无限远的地方，并且具有无限焦距。下图分别为透视投影和平行投影。

当透视投影的像平面平行于物方平面，两种投影等效。
变换的概念比较宽泛。说一下个人的理解：上面讨论的两种投影可以理解为同一物体的一次性虚拟运动（如相机成像），而变换可以理解为物体的运动（如旋转）（不管是否是同一物体，几次运动）。
1讨论最容易理解的中心投影。
在三维欧氏空间中，从O点（中心）到不包含O的平面P的中心投影是将点A发送到线OA和平面P的交点（如果存在）的映射。相机成像模型（小孔成像）就是中心投影。摄影测量中最基本的中心投影构象方程就是基于小孔成像中相似三角形得到的。
2讨论透视投影
透视这个词源于绘画。透视投影中，一束平行于投影面的平行线的投影可保持平行，而不平行于投影面的平行线的投影会聚集到一个点，该点称为灭点(Vanishing Point)。
透视投影是将三维物体投影到图像平面上的线性投影。维基百科中3DProjection分为透视投影和平行投影。而在维基百科中Projection (mathematics)又分为中心投影和平行投影。再根据透视投影和中心投影的定义我们可以认为二者等价。另外维基中有这么一句话：在给定一个不包含O的平面Q，中心投影对Q的约束（restriction）称为透视性。
3透视变换
回顾0节中的讨论，变换可以描述运动。在摄影测量中将具有倾角的像片P变成水平的像片P0，也就是将一般的中心投影变换到平行投影的过程，称为中心投影变换（李德仁摄影测量2.6）。根据2节的讨论中心投影和透视投影是等价的。所以上述内容也是透视变换的定义。百度百科中透视变换定义如下：透视变换（Perspective Transformation)是指利用透视中心、像点、目标点三点共线的条件，按透视旋转定律使承影面（透视面）绕迹线（透视轴）旋转某一角度，破坏原有的投影光线束，仍能保持承影面上投影几何图形不变的变换。可以发现，二者表达的是同一个概念，也能说明二者等价。
另外，在移动机器人视觉导航研究中，由于摄像机与地面之间有一倾斜角，而不是直接垂直朝下（正投影），有时希望将图像校正成正投影的形式，就需要利用透视变换。所以说透视变换常用于像片校正或者像片纠正（摄影测量学）。
4讨论射影变换
射影变换也称为投影变换或者单应（homography）。中心投影变换（等价于透视变换）合成是一般的射（投）影变换。这句话可以这么理解，以相机为例：一般的单应可以理解为任意两幅图像之间的映射关系。假设有两个中心投影，对应的变换分别为H,G（物点到像点的透视变换），它们的逆变换则是将像点反投影到物点，这样显然两幅像片之间的映射关系（射影变换）可以表示为F=H-G，F就是一般的射影变换。

5总结：
（1）透视投影等价于中心投影，透视变换等价于中心投影变换。
（2）射（投）影变换是相较于中心投影变换（透视变换）更一般的变换。
（3）透视变换是中心投影的射影变换（丘维生）
参考文献：李德仁摄影测量、王树根高等摄影测量学、计算机视觉中的数学方法、多视图几何、丘维生解析几何、维基百科homography、Projection (mathematics)、3DProjection、百度百科

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