【HNOI 2019】JOJO
Problem
Description
JOJO 的奇幻冒险是一部非常火的漫画。漫画中的男主角经常喜欢连续喊很多的「欧拉」或者「木大」。
为了防止字太多挡住漫画内容,现在打算在新的漫画中用 \(x\) 欧拉或者 \(x\) 木大表示有 \(x\) 个欧拉或者木大。
为了简化内容我们现在用字母表示喊出的话。
我们用数字和字母来表示一个串,例如:2 a 3 b
表示的串就是 aabbb
。
一开始漫画中什么话都没有,接下来你需要依次实现 \(n\) 个操作,总共只有 \(2\) 种操作:
- 第一种:
1 x c
:在当前漫画中加入 \(x\) 个 \(c\),表示在当前串末尾加入 \(x\) 个 \(c\) 字符。保证当前串是空串或者串尾字符不是 \(c\); - 第二种:
2 x
:觉得漫画没画好,将漫画还原到第 \(x\) 次操作以后的样子,表示将串复原到第 \(x\) 次操作后的样子,如果 \(x=0\) 则是将串变成空串。如果当前串是bbaabbb
,第 \(4\) 次操作后串是bb
,则2 4
会使bbaabbb
变成bb
,保证 \(x\) 小于当前操作数。
众所周知空条承太郎十分聪明,现在迪奥已经被打败了,他开始考虑自己的漫画中的一些问题:
对于一个串的每个前缀 \(A\),都有一个最长的比它短的前缀 \(B\) 与前缀 \(A\) 的一个后缀匹配,设这个最长的前缀 \(B\) 的长度为 \(L\)。\(L\) 为 \(0\) 时意味着 \(B\) 是一个空串。
每一次操作后,你都需要将当前的串的所有前缀的 \(L\) 求和并对 \(998244353\) 取模输出告诉空条承太郎,好和他的白金之星算出的答案对比。比如 bbaaabba
的 \(L\) 分别是 \(0, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 3\),所以对于这个串的答案就是 \(7\)
Input Format
第一行包括一个正整数 \(n\),表示操作数量。
接下来 \(n\) 行每行包含一个操作,操作格式如题目描述所示,例如:
1 x c
2 x
保证数据合法。
Output Format
仅包含 \(n\) 行,第 \(i\) 行一个整数,表示 \(i\) 个操作之后串的答案。
Sample
Input
11
1 2 a
1 3 b
1 2 a
1 1 b
2 2
1 3 a
1 2 b
2 6
2 5
1 7 a
1 5 c
Output
1
1
4
7
1
6
13
6
1
14
14
Explanation
Explanation for Sample
操作 | 此时的串 | 答案(取模后) |
---|---|---|
\(1\) |
aa
|
\(0+1=1\) |
\(2\) |
aabbb
|
\(0+1+0+0+0=1\) |
\(3\) |
aabbbaa
|
\(0+1+0+0+0+1+2=4\) |
\(4\) |
aabbbaab
|
\(0+1+0+0+0+1+2+3=7\) |
\(5\) |
aabbb
|
\(0+1+0+0+0=1\) |
\(6\) |
aabbbaaa
|
\(0+1+0+0+0+1+2+2=6\) |
\(7\) |
aabbbaaabb
|
\(0+1+0+0+0+1+2+2+3+4=13\) |
\(8\) |
aabbbaaa
|
\(0+1+0+0+0+1+2+2=6\) |
\(9\) |
aabbb
|
\(0+1+0+0+0=1\) |
\(10\) |
aabbbaaaaaaa
|
\(0+1+0+0+0+1+2+2+2+2+2+2=14\) |
\(11\) |
aabbbaaaaaaaccccc
|
\(0+1+0+0+0+1+2+2+2+2+2+2+0+0+0+0+0=14\) |
Range
\(20\%\) 的数据满足 \(n\le 300\),对于每个 \(1\) 操作中的 \(x\le 300\);
另有 \(30\%\) 的数据满足 \(n\le 10^5\),且对于每个 \(1\) 操作中的 \(x=1\);
另有 \(30\%\) 的数据满足 \(n\le 10^5\),且不含 \(2\) 操作;
\(100\%\) 的数据满足 \(n\le 10^5\),且每个 \(1\) 操作中的 \(x\le 10^4\)。
Algorithm
\(KMP\) 。
Mentality
挺神的一道题。
对于每次第一种操作加入的字符,我们将其看作一个整体,可以称其为字段,一个字段拥有字符与长度两种属性。
先考虑一个 \(50\) 分做法(虽然说是 \(50\) 分,但本题数据水,实际上可以 \(A\) 掉):当我们在结尾加入一个字符时,回想一下跳 \(KMP\) 的过程:不断跳前一位的 \(nx\) ,直到当前位置的后一个字符与加入字符相同。
那么由于每次加入的字段都与前面的字符不同,则我们发现,对于一对相同的前后缀,删掉开头结尾的第一个字段,中间的都是完整的字段。那么我们可以将一个字段视作一个新的字符进行 \(KMP\) ,同时特别的,对于第一个字段,我们将所有与它字符相同且长度大于它的字段视作相同字段。
那么每次新加入一个字段,我们只需要不断跳 \(nx\) 并计算答案。
虽然此算法能通过此题,但毕竟复杂度不正确,因为 \(KMP\) 跳数组的 \(O(n)\) 是均摊意义下的,若有回溯操作并刻意构造就能够完美卡掉它。那么考虑令跳 \(KMP\) 的过程复杂度正确。
可以考虑一个平时由于复杂度均摊而完全不会考虑的优化:循环节。对于跳 \(nx\) ,假设当前在位置 \(i\) ,若 \(nx_i < \frac{i}{2}\) ,则跳 \(nx\) 会使长度减少到一半以下。但如果 \(nx_i > \frac{i}{2}\) ,则可能导致长度只会减少一点点,从而复杂度错误。
但是,如果 \(nx_i > \frac{i}{2}\) ,它就会产生至少两个循环节!(譬如 \(ABABA\) 的形式)那么我们只需要加上一个判断:若当前前缀 \(i\) 存在循环节,先判断末尾循环节是否满足要求,然后调试第一个循环节即可。
这样的话每次长度必定缩短一半以上,则跳 \(KMP\) 的复杂度上限优化为每次 \(O(log(n))\) ,总复杂度 \(O(nlogn)\)。
Code
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <vector>
using namespace std;
const int Max_n = 1e5 + 5, mod = 998244353;
int n;
long long Ans[Max_n];
int f[Max_n], l[Max_n], len[Max_n], sum[Max_n];
char P[Max_n], c[Max_n];
int cntr, hd[Max_n], nx[Max_n], to[Max_n];
void addr(int u, int v) {cntr++;nx[cntr] = hd[u], to[cntr] = v;hd[u] = cntr;
}
void Mod(long long &x) { x %= mod; }
void calc(int x, int L, long long ans) {if (len[x]) {if (!L) Mod(ans = (len[x] - 1) * len[x] / 2);int maxx = 0, now = f[L], lastgap = 0;for (int i = f[L]; ~i; i = f[i]) {if (P[i + 1] == c[x] && min(l[i + 1], len[x]) > maxx) {int tp = maxx;maxx = min(l[i + 1], len[x]);Mod(ans +=1ll * (maxx - tp) * sum[i] + (maxx - tp) * (tp + 1 + maxx) / 2);}if (i - f[i] == lastgap && i) i = i % lastgap + lastgap;lastgap = i - f[i];}if (c[x] == P[1] && L) Mod(ans += (len[x] - maxx) * l[1]);lastgap = 0;f[L + 1] = 0;for (int i = f[L++]; ~i; i = f[i]) {if (P[1] == c[x] && l[1] <= len[x]) f[L] = 1;if (P[i + 1] == c[x] && l[i + 1] == len[x]) {f[L] = i + 1;break;}if (i - f[i] == lastgap && i) i = i % lastgap + lastgap;lastgap = i - f[i];}P[L] = c[x], sum[L] = sum[L - 1] + (l[L] = len[x]);}Ans[x] = ans;for (int i = hd[x]; i; i = nx[i]) calc(to[i], L, ans);
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("5287.in", "r", stdin);freopen("5287.out", "w", stdout);
#endifscanf("%d", &n);int opt, x;for (int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d%d", &opt, &x);if (opt == 2) {addr(x, i);} else {addr(i - 1, i);scanf(" %c", &c[i]);len[i] = x;}}f[0] = -1;calc(0, 0, 0);for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%lld\n", Ans[i]);
}
转载于:https://www.cnblogs.com/luoshuitianyi/p/11443617.html
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