主要内容：

1、QR分解定义

2、QR分解求法

3、QR分解与最小二乘

4、Matlab实现

一、QR分解 R分解法是三种将矩阵分解的方式之一。这种方式，把矩阵分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的积。 QR 分解经常用来解线性最小二乘法问题。QR 分解也是特定特征值算法即QR算法的基础。 定义： 实数矩阵 A 的 QR 分解是把 A 分解为Q、R，这里的 Q 是正交矩阵(意味着 QTQ = I)而 R 是上三角矩阵。类似的，我们可以定义 A 的 QL, RQ 和 LQ 分解。 更一般的说，我们可以因数分解复数 m×n 矩阵(有着 m ≥ n)为 m×n 酉矩阵(在 Q?Q = I 的意义上)和n×n 上三角矩阵的乘积。 如果 A 是非奇异的，则这个因数分解为是唯一，当我们要求 R 的对角是正数的时候。

二、QR分解的求法 QR分解的实际计算有很多方法，例如Givens旋转、Householder变换，以及Gram-Schmidt正交化等等。每一种方法都有其优点和不足。

三、QR分解与最小二乘 最小二乘：

对给定数据点{(Xi，Yi)}(i=0,1，…，m)，在取定的函数类Φ 中，求p(x)∈Φ，使误差的平方和E^2最小，E^2=∑[p(Xi)-Yi]^2。从几何意义上讲，就是寻求与给定点 {(Xi，Yi)}(i=0,1，…，m)的距离平方和为最小的曲线y=p(x)。函数p(x)称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。

最小二乘的矩阵形式：Ax=b，其中A为nxk的矩阵，x为kx1的列向量，b为nx1的列向量。如果n>k(方程的个数大于未知量的个数)，这个方程系统称为Over Determined System，如果n

正常来看，这个方程是没有解的，但在数值计算领域，我们通常是计算 min ||Ax-b||，解出其中的x。比较直观的做法是求解A‘Ax=A‘b，但通常比较低效。其中一种常见的解法是对A进行QR分解(A=QR)，其中Q是nxk正交矩阵(Orthonormal Matrix)，R是kxk上三角矩阵(Upper Triangular Matrix)，然后min ||Ax-b|| = min ||QRx-b|| = min ||Rx-Q‘b||，用MATLAB命令x=R\(Q‘*b)可解得x。 最小二乘的Matlab实现： ① 一次函数使用polyfit(x,y,1) ②多项式函数使用 polyfit(x,y,n)，n为次数 拟合曲线 x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]， y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。 解：MATLAB程序如下： x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]; y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]; p=polyfit(x,y,2) x1=0.5:0.5:3.0; y1=polyval(p,x1); plot(x,y,‘*r‘,x1,y1,‘-b‘) 计算结果为： p =0.5614 0.8287 1.1560 即所得多项式为y=0.5614x^2+0.8287x+1.15560

③非线性函数使用 lsqcurvefit(fun,x0,x,y)

四、QR分解的Matlab实现 [Q,R]=qr(A) or [Q,R]=qr(A,0)    (二者的区别自行help或doc一下)其中Q代表正规正交矩阵，而R代表上三角形矩阵。 此外，原矩阵A不必为正方矩阵； 如果矩阵A大小为n*m，则矩阵Q大小为n*m，矩阵R大小为m*m。

五、参考文献：

原文：http://www.cnblogs.com/AndyJee/p/3846455.html