用累积分布函数（CDF）计算期望

一般计算期望的方法为：
E ( x ) = ∑ x x P ( x ) E(x) = \sum_x xP(x) E(x)=x∑xP(x)或者
E ( x ) = ∫ x P ( x ) d x E(x) = \int xP(x)dx E(x)=∫xP(x)dx

但如果我们已知非负随机变量的累积分布函数(CDF)为 F ( x ) F(x) F(x) 时，可以用如下方式计算：
E ( x ) = ∫ 0 ∞ 1 − F ( x ) d x E(x) = \int_0^\infty 1-F(x)dx E(x)=∫0∞1−F(x)dx
或者对于取值为离散自然数的随机变量
E ( x ) = ∑ n = 0 ∞ P r ( x ≥ n ) E(x) = \sum_{n=0}^\infty Pr(x\geq n) E(x)=n=0∑∞Pr(x≥n)

证明1：
E ( x ) = ∫ 0 ∞ y P ( y ) d y = ∫ 0 ∞ ∫ 0 y P ( y ) d x d y = ∫ 0 ∞ ∫ x ∞ P ( y ) d y d x = ∫ 0 ∞ 1 − F ( x ) d x E(x) = \int_0^{\infty} yP(y)dy = \int_0^{\infty} \int_0^yP(y)dxdy \\= \int_0^{\infty} \int_x^{\infty}P(y)dydx = \int_0^{\infty} 1-F(x)dx E(x)=∫0∞yP(y)dy=∫0∞∫0yP(y)dxdy=∫0∞∫x∞P(y)dydx=∫0∞1−F(x)dx
证明2：
E ( x ) = ∑ k = 0 ∞ k P r ( x = k ) = ∑ k = 0 ∞ ∑ n = 0 k P r ( x = k ) = ∑ n = 0 ∞ ∑ k = n ∞ P r ( x = k ) = ∑ n = 0 ∞ P r ( x ≥ n ) E(x) = \sum_{k=0}^{\infty} kPr(x=k) = \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{k} Pr(x=k) \\=\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=n}^{\infty}Pr(x=k) = \sum_{n=0}^\infty Pr(x\geq n) E(x)=k=0∑∞kPr(x=k)=k=0∑∞n=0∑kPr(x=k)=n=0∑∞k=n∑∞Pr(x=k)=n=0∑∞Pr(x≥n)

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