Snell定律（折射定律）之导数的应用

【问题描述】

【问题分析】

【建立模型】

【问题解答】

【c++代码展示】

【产生结论】

【知识补充】

【问题描述】

求一条光线从光速为 c1 的介质中的点 A 穿过平直界面，行进到光速为 c2 的介质中点 B 的路径。

【问题分析】

因为光线从 A 到 B 会按最快的路径行进，所以我们寻求使行进时间最短的路径。

【建立模型】

图1

我们假定 A 和 B 位于 xy 平面，而且两种介质的分界线为 x 轴（图1) 在均匀的介质中光速不变，“ 最短时间 ” 意即 “ 最短路径〞，而且光线遵循直线路径行进。由此，从A到B的路径由从A到边界点P 的线段，紧接着从 P 到 B 的另一个线段组成，由距离等于速率乘时间的公式。

【问题解答】

时间 = 距离 / 速率（公式1）

所以，光线从 A 行进到 P 所需要的时间为：

（方程1）

从 P 到 B 所需时间为：

（方程2）

则从 A 到 B 的时间为此二者之和：

（方程3）

这个方程把 t 表示为 x 的一个可微函数，其定义域为闭区间 [0, d] ，而我们要求的就是，在该闭区间上 t 的绝对值最小值。

【注：识别零界点和端点】

我们求得：

（方程4）

用图1 中的角 $\theta 1$ 和 $\theta 2$ 来表示，得到：

（方程5）

我们从方程4 可以知道在：

x = 0 处，dt / dx＜0，而在 x = d 处,dt / dx＞0。

由此得到在 x = 0 和 t = d 之间的某 x = xo 处 dr / dx = 0（图2)。

图2

这样的点只有一个，因为dt / dx是增函。在x = xo 处：

（方程6）

方程6 即 Snell 定律或折射定律

【c++代码展示】

#include<iostream>
#include<cmath>//数学函数库，用来计算平方根
using namespace std;int main () {//定义所需变量 float t1, t2, t, c1, c2, d, dt;//c1,c2分别为光速（具体含义可查看【问题描述】） //通过公式1计算光线行进的总时间 t1 = (sqrt(a*a + x*x)) / c1;t2 = (sqrt(b*b + (d-x)*(d-x))) / c2;t = t1 + t2;//dt表示dt / dx, 是求导运算 //此处通过求导，计算光线行进所需的最小时间 dt =  (x / c1*sqrt(a*a + x*x)) - ((d-x) / c2*sqrt(b*b + (d-x)*(d-x)));return 0;
}

【产生结论】

光线遵循的路径是由 Snell 定理描述的路径。

【知识补充】

图3

图3 说明了光线对空气和水的情形。

对室温下的空气和水，光速比为 1.33，从而 Snell 定律变成

$\sin \theta 1 = 1.33 \sin \theta 2$ （方程7）

在这张实验室的照片中

$\theta 1 = 35.5$ °， $\theta 2 = 26$ °

而

(sin 35.5° / sin 26°) = 0.581 / 0.438 = 1.33
和预测值相同
这张照片还说明了反射角 = 人射角