高等数学 —— 函数的极限

一.函数极限的定义

在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。

1.自变量趋于有限值时函数的极限

去心邻域
以x0x_0x0为中心的任何开区间称为点x0x_0x0的邻域，记作U(x0)U(x_0)U(x0);在U(x0)U(x_0)U(x0)中去掉中心x0x_0x0后，称为点x0x_0x0的去心邻域，记作U˚(x0)\mathring{U}(x_0)U˚(x0)

如果在x→x0x \rightarrow x_0x→x0的过程中，对应的函数值f(x)f(x)f(x)无限接近于确定的数值AAA，那么就说AAA是函数f(x)f(x)f(x)当x→x0x \rightarrow x_0x→x0时的极限

定义1  \; 设函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0的某一去心邻域内有定义。如果存在常数AAA,对于任意给定的正数ε\varepsilonε(不论它多么小)，总存在正数δ\deltaδ,使得当xxx满足不等式0<∣x−x0∣<δ0 < |x-x_0| < \delta0<∣x−x0∣<δ时，对应的函数值f(x)f(x)f(x)都满足不等式

∣f(x)−A∣<ε|f(x) - A| < \varepsilon∣f(x)−A∣<ε

那么常数AAA就叫做函数f(x)f(x)f(x)当x→x0x \rightarrow x_0x→x0时的极限，记作

lim⁡n→x0f(x)=A 或 f(x)→A(当x→x0)\lim\limits_{n \to x_0}f(x) = A \; 或 \; f(x) \rightarrow A(当 x \rightarrow x_0)n→x0limf(x)=A或f(x)→A(当x→x0)

定义中0<∣x−x0∣0 < |x-x_0|0<∣x−x0∣表示x≠x0x \neq x_0x̸=x0，所以x→x0x \rightarrow x_0x→x0时f(x)f(x)f(x)有没有极限，与f(x)f(x)f(x)在点x0x_0x0处是否有定义并无关系。

定义1可以简单地表述为

lim⁡n→x0f(x)=A⇔∀ε>0,∃δ>0,当0<∣x−x0∣<δ时,有∣f(x)−A∣<ε\lim\limits_{n \to x_0}f(x) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0,当 0 < |x - x_0| < \delta 时,有|f(x) - A| < \varepsilonn→x0limf(x)=A⇔∀ε>0,∃δ>0,当0<∣x−x0∣<δ时,有∣f(x)−A∣<ε

函数f(x)f(x)f(x)当x→x0x \rightarrow x_0x→x0时的极限为A的几何解释如下:任意给定一正数ε\varepsilonε,作平行于xxx轴的两条直线y=A+εy = A + \varepsilony=A+ε 和 y=A−εy = A - \varepsilony=A−ε，介于这两条直线之间是一横条区域。根据定义，对于给定的ε\varepsilonε，存在着点x0x_0x0的一个δ\deltaδ领域(x0−δ,x0+δ)(x_0-\delta,x_0+\delta)(x0−δ,x0+δ)，当y=f(x)y=f(x)y=f(x)的图形上的点的横坐标xxx在领域(x0−δ,x0+δ)(x_0-\delta,x_0+\delta)(x0−δ,x0+δ)内，但x≠x0x \neq x_0x̸=x0时，这些点的纵坐标f(x)f(x)f(x)满足不等式
∣f(x)−A<ε∣|f(x) - A < \varepsilon|∣f(x)−A<ε∣
或
A−ε<f(x)<A+εA-\varepsilon < f(x) < A + \varepsilonA−ε<f(x)<A+ε
亦即这些点落在上面所作的横条区域内，如下图：

有时只能或只需考虑xxx仅从x0x_0x0的左侧趋于x0x_0x0（记作x→x0x \rightarrow x_0x→x0）的情形，或xxx仅从x0x_0x0的右侧趋于x0x_0x0（记作x→x0x \rightarrow x_0x→x0）的情形。在x→x0x \rightarrow x_0x→x0的情形，xxx在x0x_0x0的左侧，x<x0x < x_0x<x0。在lim⁡n→x0f(x)=A\lim\limits_{n \to x_0}f(x) = An→x0limf(x)=A的定义中，把0<∣x−x0∣<δ0 < |x - x_0| < \delta0<∣x−x0∣<δ改为x0−δ<x<x0x_0 - \delta < x < x_0x0−δ<x<x0，那么AAA就叫做函数f(x)f(x)f(x)当x→x0x \rightarrow x_0x→x0时的左极限，记作
lim⁡n→x0−f(x)=A或f(x0−)=A\lim\limits_{n \to x_0^-}f(x) = A 或 f(x_0^-) = An→x0−limf(x)=A或f(x0−)=A
类似地，在lim⁡n→x0f(x)=A\lim\limits_{n \to x_0}f(x) = An→x0limf(x)=A的定义中，把0<∣x−x0∣<δ0 < |x - x_0| < \delta0<∣x−x0∣<δ改为x0<x<x0+δx_0 < x < x_0 + \deltax0<x<x0+δ，那么AAA就叫做函数f(x)f(x)f(x)当x→x0x \rightarrow x_0x→x0时的右极限，记作
lim⁡n→x0+f(x)=A或f(x0+)=A\lim\limits_{n \to x_0^+}f(x) = A 或 f(x_0^+) = An→x0+limf(x)=A或f(x0+)=A
左极限与右极限统称为单侧极限

根据x→x0x \rightarrow x_0x→x0时函数f(x)f(x)f(x)的极限的定义以及左极限和右极限的定义，容易证明：函数f(x)f(x)f(x)当x→x0x \rightarrow x_0x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即
f(x0−)=f(x0+)f(x_0^-) = f(x_0^+)f(x0−)=f(x0+)

2.自变量趋于无限大时函数的极限

如果在x→∞x \rightarrow \inftyx→∞的过程中，对应的函数值f(x)f(x)f(x)无限接近于确定的数值AAA，那么就说AAA是函数f(x)f(x)f(x)当x→∞x \rightarrow \inftyx→∞时的极限

定义1  \; 设函数f(x)f(x)f(x)当∣x∣|x|∣x∣大于某一正数时有定义。如果存在常数AAA,对于任意给定的正数ε\varepsilonε(不论它多么小)，总存在正数XXX,使得当xxx满足不等式∣x∣>X|x| > X∣x∣>X时，对应的函数值f(x)f(x)f(x)都满足不等式

∣f(x)−A∣<ε|f(x) - A| < \varepsilon∣f(x)−A∣<ε

那么常数AAA就叫做函数f(x)f(x)f(x)当x→∞x \rightarrow \inftyx→∞时的极限，记作

lim⁡n→∞f(x)=A 或 f(x)→A(当x→∞)\lim\limits_{n \to \infty}f(x) = A \; 或 \; f(x) \rightarrow A(当 x \rightarrow \infty)n→∞limf(x)=A或f(x)→A(当x→∞)

定义2可以简单地表述为

lim⁡n→∞f(x)=A⇔∀ε>0,∃X>0,当x→∞时,有∣f(x)−A∣<ε\lim\limits_{n \to \infty}f(x) = A \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0,\exists X > 0,当 x \rightarrow \infty 时,有|f(x) - A| < \varepsilonn→∞limf(x)=A⇔∀ε>0,∃X>0,当x→∞时,有∣f(x)−A∣<ε

从几何上来说，lim⁡n→∞f(x)=A\lim\limits_{n \to \infty}f(x) = An→∞limf(x)=A的意义是：作直线y=A−εy=A-\varepsilony=A−ε和y=A+εy=A+\varepsilony=A+ε，则总有一个正数X存在，使得当x<−Xx<-Xx<−X或x>Xx>Xx>X时，函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)的图形位于这两直线之间，这时，直线y=Ay=Ay=A是函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)的图形的水平渐近线，如下图：

二.函数极限的性质

定理1(函数极限的唯一性)  \;如果lim⁡n→x0f(x)\lim\limits_{n \to x_0}f(x)n→x0limf(x)存在，那么这极限唯一

定理2(函数极限的局部有限性)  \; 如果lim⁡n→x0f(x)=A\lim\limits_{n \to x_0}f(x) = An→x0limf(x)=A，那么存在常数M>0M>0M>0和δ>0\delta>0δ>0,使得当0<∣x−x0∣<δ0<|x-x_0|<\delta0<∣x−x0∣<δ时，有∣f(x)≤M∣|f(x) \leq M|∣f(x)≤M∣

定理3(函数极限的局部保号性)  \; 如果lim⁡n→x0f(x)=A\lim\limits_{n \to x_0}f(x) = An→x0limf(x)=A,且A>0A > 0A>0(或A<0A < 0A<0),那么存在常数δ>0\delta>0δ>0,使得当0<∣x−x0∣<δ0<|x-x_0|<\delta0<∣x−x0∣<δ时，有f(x)>0f(x) > 0f(x)>0(或f(x)<0f(x) <0f(x)<0)

定理313^131  \; 如果lim⁡n→x0f(x)=A(A≠0)\lim\limits_{n \to x_0}f(x) = A(A \neq 0)n→x0limf(x)=A(A̸=0)，那么就存在着x0x_0x0的某一去心邻域U˚(x0)\mathring{U}(x_0)U˚(x0)，当x∈U˚(x0)x \in \mathring{U}(x_0)x∈U˚(x0)时，就有∣f(x)∣>∣a∣2|f(x)| > \frac{|a|}{2}∣f(x)∣>2∣a∣

由定理3，易得以下推论：

推论  \; 如果在x0x_0x0的某一去心邻域内f(x)≥0f(x) \geq 0f(x)≥0（或f(x)≤0f(x) \leq 0f(x)≤0）,而且lim⁡n→x0f(x)=A\lim\limits_{n \to x_0}f(x) = An→x0limf(x)=A，那么A≥0A \geq 0A≥0（或A≤0A \leq 0A≤0）

定理4(函数极限与数列极限的关系)  \; 如果极限lim⁡n→x0f(x)=A\lim\limits_{n \to x_0}f(x) = An→x0limf(x)=A存在，∣xn∣|x_n|∣xn∣为函数f(x)f(x)f(x)的定义域内任一收敛于x0x_0x0的数列，且满足：xn≠x0(n∈N+)x_n \neq x_0(n \in N_+)xn̸=x0(n∈N+)，那么相应的函数值数列{f(xn)}\{f(x_n)\}{f(xn)}必收敛，且lim⁡n→∞f(xn)=lim⁡x→x0f(x)\lim\limits_{n \to \infty}f(x_n) = \lim\limits_{x \to x_0}f(x)n→∞limf(xn)=x→x0limf(x)