智能优化算法（源码）-蜉蝣算法（Mayfly Algorithm，MA)

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雄性蜉蝣的移动
雌性蜉蝣的移动
蜉蝣交配
伪代码

蜉蝣算法（Mayfly Algorithm,MA）是由Konstantinos Zervoudakis于2020年提出的一种新型智能优化算法，该算法模拟了蜉蝣的飞行行为和交配过程，综合了群体智能和进化算法的优势。本文将带来该算法的原理介绍，扫码关注公众号，后台回复“蜉蝣”可以获取Matlab代码。

蜉蝣是蜉蝣目昆虫，在从卵中孵化出来后，蜉蝣幼虫肉眼可见，它们要花几年的时间作为水生若虫生长，直到成年后才可以上升到水面。成年蜉蝣在完成繁殖的最终目标前只能存活几天时间。为了吸引雌性，大多数成年雄性会聚集在水面上方几米的地方，通过特有的上下运动模式来表演一种婚礼舞蹈>雌性飞入这些种群中以与空中的雄性交配。交配可能只持续几秒钟，当交配完成后，雌性把卵排到水面上，以延续下一代。

蜉蝣算法就是受上述启发而提出的一种新型优化算法，其可以认为是粒子群优化算法（）的一种改进，综合了粒子群PSO、遗传算法GA和萤火虫算法FA的各大优势。

假设：

蜉蝣从卵中孵化出来就已经是成虫，无论活多久，最适应的蜉蝣都能存活下来；

每只蜉蝣在搜索空间中的位置代表了问题的一个可行解；

初始时，随机生成两个蜉蝣种群，分别代表雄性和雌性种群，即每只蜉蝣作为一个候选解被随机置于问题空间中，该候选解可通过一个d维向量x=(x1,⋯,xd)\mathbf{x}=\left(x_{1}, \cdots, x_{d}\right)x=(x1,⋯,xd)来表达，且其性能可根据预定义的目标函数f(x)f(\mathbf{x})f(x)评估得到;

蜉蝣的速度定义为其位置的变化，飞行方向是个体和社会飞行经验的动态交互。特别地，蜉蝣会根据当前的个体最优位置（pbestpbestpbest）以及当前种群的最优位置（gbestgbestgbest）调整其轨迹。

雄性蜉蝣的移动

雄蜉蝣的群居，意味着每只雄蜉蝣的位置是根据自己的经验和邻居的经验调整的。假设xitx_i^txit是时间步ttt蜉蝣iii在搜索空间中的当前位置，通过在当前位置上添加一个速度vii+1v_i^{i+1}vii+1来改变位置：

xit+1=xit+vit+1(1)x_i^{t+1}=x_i^{t}+v_i^{t+1}\tag{1}xit+1=xit+vit+1(1)

其中xi0∈U(xmin,xmax)x_i^0\in U(x_{min},x_{max})xi0∈U(xmin,xmax)

考虑到雄蜉蝣通常是在水面以上几米的位置跳舞，可以假设它们不会有太大的速度，且它们是不断移动的，所以雄蜉蝣的速度可以计算为：
vijt+1=vijt+a1e−βrp2(pbestij−xijt)+a2e−βrg2(gbestj−xijt)(2)\left.v_{i j}^{t+1}=v_{i j}^{t}+a_{1} e^{-\beta r_{p}^{2}}\left( pbest_{i j}-x_{i j}^{t}\right)+a_{2} e^{-\beta r_{g}^{2}}\left( gbest _{j}\right.-x_{i j}^{t}\right)\tag{2} vijt+1=vijt+a1e−βrp2(pbestij−xijt)+a2e−βrg2(gbestj−xijt)(2)
其中vijtv_{i j}^{t}vijt是时间步ttt蜉蝣iii在维度j=1,...,nj=1,...,nj=1,...,n上的速度，xijtx_{i j}^{t}xijt是时间步ttt蜉蝣iii在维度jjj上的位置，a1a_1a1和a2a_2a2是正吸引常数，分别用于缩放认知和社会部分的贡献。pbestipbest_ipbesti是蜉蝣iii访问过的最优位置，考虑最小化问题，下一时间步t+1t+1t+1的个体最优位置pbestijpbest_{ij}pbestij可计算为：
KaTeX parse error: Unknown column alignment: * at position 37: …{\begin{array}{*̲{20}{c}} {lx_i^…
其中f:Rn→Rf: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}f:Rn→R为目标函数，时间步ttt的全局最优位置gbestgbestgbest定义为：

gbest∈{pbest1,pbest2,⋯,pbestN∣f(cbest)}=min⁡{f(pbest1),f(pbest2),⋯,f(pbestN)}(4)\begin{aligned} & { gbest } \in\left\{ { pbest }_{1}, { pbest }_{2}, \cdots, { pbest }_{N} \mid f( { cbest })\right\} \\ &\quad=\min \left\{f\left(p b e s t_{1}\right), f\left(p b e s t_{2}\right), \cdots, f\left(p b e s t_{N}\right)\right\} \end{aligned}\tag{4} gbest∈{pbest1,pbest2,⋯,pbestN∣f(cbest)}=min{f(pbest1),f(pbest2),⋯,f(pbestN)}(4)
其中NNN是种群中雄性蜉蝣总数。β\betaβ是固定的可见度系数，用于限制蜉蝣的可见度，而rpr_{p}rp和rgr_grg分别是是xix_ixi与pbestipbest_ipbesti，xix_ixi与gbestgbestgbest之间的笛卡尔距离：
∥xi−Xi∥=∑j=1n(xij−Xij)2(5)\left\|x_{i}-X_{i}\right\|=\sqrt{\sum_{j=1}^{n}\left(x_{i j}-X_{i j}\right)^{2}}\tag{5} ∥xi−Xi∥=j=1∑n(xij−Xij)2(5)
其中xijx_{ij}xij为蜉蝣iii的第jjj个元素，XiX_iXi对应pbestipbest_ipbesti或gbestgbestgbest。

种群中最优蜉蝣继续表演它们特有的上下婚礼舞蹈，这对算法的功能是很重要的。因此，最优蜉蝣必须不断改变它们的速度：
vijt+1=vijt+d∗r(6)v_{i j}^{t+1}=v_{i j}^{t}+d * r\tag{6} vijt+1=vijt+d∗r(6)
其中ddd为婚舞距离系数，rrr为[-1,1]范围内的随机数。通过这种上下移动就为算法引入了随机元素。

雌性蜉蝣的移动

不同于雄性蜉蝣，雌性蜉蝣并不会成群结队，而是飞向雄性以进行繁殖。假设yity_i^tyit是时间步ttt雌性蜉蝣iii在搜索空间中的当前位置，那在当前位置上增加一个速度vit+1v_i^{t+1}vit+1就可以改变这个位置，即：
yit+1=yit+vit+1(7)y_{i}^{t+1}=y_{i}^{t}+v_{i}^{t+1}\tag{7} yit+1=yit+vit+1(7)
其中y_{i}^{0} ∈\in∈ U(ymin,ymax)U(y_{min},y_{max})U(ymin,ymax)。

尽管吸引过程是随机的，但为了简便可以将其视为确定过程，也就是说，可以根据其适应度值，最优雄性吸引最优雌性，第二优雄性吸引第二有雌性，以此类推。那么考虑最小化问题时，其速度按如下计算：
vijt+1={vijt+a2e−βrmf2(xijt−yijt),if f(yi)>f(xi)vijt+fl∗r,if f(yi)≤f(xi)(8)v_{i j}^{t+1}=\left\{\begin{array}{l} v_{i j}^{t}+a_{2} e^{-\beta r_{m f}^{2}}\left(x_{i j}^{t}-y_{i j}^{t}\right), \text { if } f\left(y_{i}\right)>f\left(x_{i}\right) \\ v_{i j}^{t}+f l * r, \text { if } f\left(y_{i}\right) \leq f\left(x_{i}\right) \end{array}\right.\tag{8} vijt+1={vijt+a2e−βrmf2(xijt−yijt), if f(yi)>f(xi)vijt+fl∗r, if f(yi)≤f(xi)(8)
其中，vijtv_{i j}^{t}vijt是时间步ttt雌性蜉蝣iii在维度j=1,...,nj=1,...,nj=1,...,n上的速度，yijty_{i j}^{t}yijt是时间步ttt雌性蜉蝣iii在维度jjj上的位置，a2a_{2}a2是正吸引常数，β\betaβ是固定可见度常数，rmfr_{m f}rmf是雄性和雌性之间的笛卡尔距离，flflfl是随机游走系数，当雌性没有被雄性吸引时使用，此时雌性随机飞行，且rrr是[-1,1]范围内的随机值。

蜉蝣交配

交叉算法表达了两只蜉蝣之间的交配过程：从雄性种群和雌性种群中分别选择一个父代，选择方式同雄性吸引雌性的方式相同。特别地，选择可以是随机的也可以是基于适应度值的，如果是后者，则最优雌性与最优雄性交配，第二优之间交配，以此类推。交叉的结果就是生成如下两个子代：
offspring1=L∗male+(1−L)∗femaleoffspring2=L∗female+(1−L)∗male(9)\begin{aligned} \ { offspring } 1 &=L * \ { male }+(1-L) * \ { female } \\ \ { offspring2 } &=L * \ { female }+(1-L) * \ { male } \end{aligned}\tag{9} offspring1 offspring2=L∗ male+(1−L)∗ female=L∗ female+(1−L)∗ male(9)
其中malemalemale是雄性父代，#female是雌性父代，是雌性父代，是雌性父代，L$是特定范围内的随机值，子代初始速度为0。

伪代码

目标函数f(x),x=(x1,…,xd)Tf(\mathbf{x}), \mathbf{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{d}\right)^{T}f(x),x=(x1,…,xd)T

初始化雄性蜉蝣种群xi(i=1,2,…,N)x_{i}(i=1,2, \ldots, N)xi(i=1,2,…,N)及速度vmiv_{mi}vmi

初始化雌性蜉蝣种群yi(i=1,2,…,M)y_{i}(i=1,2, \ldots, M)yi(i=1,2,…,M)及速度vfiv_{fi}vfi

评估各蜉蝣适应度值

找到全局最优解gbestgbestgbest

Do While 未满足终止准则

更新雄性和雌性的速度和解

评估解

蜉蝣排序

蜉蝣交配

评估子代

随机将子代分为雄性和雌性

更新pbestpbestpbest和gbestgbestgbest

end while

结果后处理及可视化。