一阶常微分方程欧拉法与梯形公式局部截断误差与p阶精度Range

* 一阶常微分方程 欧拉法与梯形公式 局部截断误差与p阶精度 Range-Kutta公式 常微分方程MATLAB求解 《数值分析》 23 ? ? ? ? ? 例1.一阶常微分方程 求解区域: 0≤ x ≤ 1.5 2/16 解曲线的斜率 转化为方向余弦 例2. Logistic模型 初值条件y(0)=0.2 一阶常微分方程初值问题: 数值方法——取定离散点: x0 < x1 < x2 < ··· < xN 其中, y = y(x) 是未知函数, 右端函数 f(x, y )是已知函数, 初值 y0 是已知数据。 求未知函数 y(x) 在离散点处的近似值 y1, y2, y3, ·····, yN 3/16 ? 4/16 取定步长: h,记 xn = x0 + nh, ( n = 1,2, ···, N ) Euler公式: yn+1 = yn + h f( xn, yn ) 求近似解: y’ = f (x, y) 梯形公式: 左矩形公式 用数值积分方法离散化常微分方程 6/16 ? 预-校方法又称为修正的Euler法,算法如下 k1 = f(xn , yn) , k2 = f( xn+1 , yn+ h k1) , 由梯形公式推出的预-校方法: 7/16 ? 设 yn= y(xn), 称 Rn+1=y(xn+1) - yn+1为局部截断误差. 即 由泰勒公式 Euler公式: yn+1 = yn+ hf (xn, yn) 的局部截断误差 y(xn+1) – yn+1=y(xn) – yn+ O(h2) = O(h2) 9/16 Euler公式的局部截断误差记为: O(h2) 称Euler公式具有1阶精度。 若局部截断误差为: O(h p +1) 则称显式单步法具有 p 阶精度 。 例 3 证明修正的Euler法具有2阶精度 14/16 将预测公式 代入 得 yn+1 = yn + 0.5h[f(xn,yn)+f(xn+1, yn+hf(xn, yn))] f(xn+1, yn+hf(xn, yn))= f(xn+h, yn+hf(xn, yn)) = f (xn, yn)+h[fx’]n + hf(xn,yn) [fy’]n + O(h2) ? 利用台劳展开式 y(xn+1)=y(xn)+hy’(xn)+0.5h2y”(xn)+O(h3) 0.5h[f(xn,yn)+f(xn+1, yn+hf(xn, yn))] =hy’(xn)+0.5h2y”(xn)+ O(h3) 局部截断误差: y(xn+1) – yn+1 = y(xn) – yn =O(h3) 故修正的Euler法具有2阶精度。 11/16 yn+1 = yn + hy’(xn)+0.5h2y”(xn)+ O(h3) 三阶Range-Kutta公式一般形式 yn+1= yn+ h[k1+4k2+k3]/6 k1=f(xn,yn), k2=f(xn+0.5h, yn+0.5hk1) k3=f(xn+h, yn – hk1+2hk2) 四阶Range-Kutta公式一般形式 yn+1= yn+ h[k1+2k2+2k3+k4]/6 k1=f(xn,yn), k2=f(xn+0.5h, yn+0.5hk1) k3=f(xn+0.5h, yn+0.5hk2), k4=f(xn+h, yn+hk3) 12/16 例4 数值实验:几种不同求数值解公式的误差比较 n 10 20 30 40 h 0.2 0.1 0.0667 0.05 RK4 6.862e-005 3.747e-006 7.071e-007 2.186e-007 RK3 0.0012 1.529e-004 4.517e-005 1.906e-005 RK2 0.0123 0.0026 0.0011 5.9612e-004 Euler 0.1059 0.0521 0.0342 0.0256 13/16 *