JZOJ 5539 psy

psy

Description

f(i)=i∗[∑d|n10d∗μ(id)]f(i)=i∗[∑d|n10d∗μ(id)]f(i)=i*[\sum_{d|n}10^d*\mu({i \over d})]
求∑ni=1f(i)∑i=1nf(i)\sum_{i=1}^nf(i)

Data Constraint

nnn<=1010" role="presentation" style="position: relative;">1010101010^{10}

Solution

首先显然有

Answer=∑i=1ni∗10i∑j=1niμ(j)∗jAnswer=∑i=1ni∗10i∑j=1niμ(j)∗j

Answer=\sum_{i=1}^n i*10^i\sum_{j=1}^{n \over i}\mu(j)*j

首先设g(i)g(i)g(i)=∑ij=1j∗10j∑j=1ij∗10j\sum_{j=1}^i j*10^j，这个挺容易求，像求等比数列一样裂项求即可，求得

g(n)=n∗10n+1−10n+1−199g(n)=n∗10n+1−10n+1−199

g(n)={{n*10^{n+1}-{{10^{n+1}-1}\over 9}}\over 9}

对答案式子分块求，现在只需要求w(i)=∑ij=1μ(j)∗jw(i)=∑j=1iμ(j)∗jw(i)=\sum_{j=1}^i\mu(j)*j
考虑到有w∗ID=[n=1]w∗ID=[n=1]w*ID=[n=1]，于是可以用杜教筛求解，得

w(n)=1−∑i=2ni∗w(ni)w(n)=1−∑i=2ni∗w(ni)

w(n)=1-\sum_{i=2}^ni*w({n\over i})

接下来只需预处理出前n23n23n^{2 \over 3}的μ(i)∗iμ(i)∗i\mu(i)*i即可。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define fo(i,j,l) for(int i=j;i<=l;++i)
#define fd(i,j,l) for(int i=j;i>=l;--i)using namespace std;
typedef long long ll;
const ll K=52e5,N=521e4,U=2e5,mo=1e9+7;int ss[K],oo;
bool bz[N];
int mu[N];
ll qz[N],keep[U],n9,n;inline ll ksm(ll o,ll t)
{ll y=1;for(;t;t>>=1,o=o*o%mo)if(t&1)y=y*o%mo;return y;
}inline ll op(ll t)
{return ((t*ksm(10,t+1)-(ksm(10,t+1)-1)*n9)%mo+mo+1)*n9%mo;}inline ll ext(ll l,ll r)
{ll o1=l+r,o2=r-l+1;if(!(o1&1))o1>>=1;else o2>>=1;return (o1%mo)*(o2%mo)%mo;
}ll S(ll p)
{if(p<=K)return qz[p];else if(keep[n/p]!=-1)return keep[n/p];ll l=2,r,lj=0;while(l<=p){r=p/(p/l); ll o=p/l;lj=(lj+ext(l,r)*S(o))%mo;l=r+1;}keep[n/p]=(1-lj+mo)%mo; return keep[n/p];
}int main()
{n9=ksm(9,mo-2); fo(i,2,K){if(!bz[i])ss[++oo]=i,mu[i]=-1;fo(j,1,oo)if(ss[j]*i<=K){bz[ss[j]*i]=true;mu[ss[j]*i]=-mu[i];if(i%ss[j]==0){mu[ss[j]*i]=0;break;}}else break;}mu[1]=1;fo(i,1,U-2)keep[i]=-1;fo(i,1,K)qz[i]=(qz[i-1]+mu[i]*(i%mo)+mo)%mo;freopen("psy.in","r",stdin);freopen("psy.out","w",stdout);cin>>n;ll l=1,r,ans=0;while(l<=n){r=n/(n/l);ans=(ans+(S(r)-S(l-1)+mo)*op(n/l))%mo;l=r+1;}cout<<ans;
}

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