【线代】特征值、惯性指数、标准型、规范型的关系?等价、相似与合同?
目录
1. 两矩阵特征值相同
1.1 实对称矩阵A、B的特征值相同
2. 二次型的标准型
2.1 标准型唯一吗
2.2 标准型与秩
2.3 标准型与特征值
2.4 正交变换与特征值
2.5 两个二次型的标准型相同
3. 规范型
3.1 规范型唯一吗
3.2 规范型与标准型
3.3 规范型与合同(充要条件)
4. 等价、相似与合同
1. 两矩阵特征值相同
能确定什么?不能确定什么?(不能确定,表示不可推出,没有证据推出。)
答:能确定行列式、迹相等;不能确定秩相等,不能确定A~B(相似),不能确定A合同于B。从以下几点解释。
① 因为 |A|=λ1 λ2…λn,tr(A)=λ1+λ2+…+λn,所以 |A|=|B|,tr(A)=tr(B)。
② 有特征值 λ,不表示A可以~Λ。
③ 若 A~Λ,可推出 r(A)=非0的 λ 个数。
④ 合同需要实对称矩阵(考研范围中),λ 相等并不能保证。
【反例】帮助理解:此例中,r(A)≠r(B),且都不可相似对角化,且都不是实对称矩阵(不可合同)。
1.1 实对称矩阵A、B的特征值相同
实对称矩阵一定可以对角化,所以可得A、B相似于同一个对角阵,即 A~Λ~B。又因为实对称,所以逆=转置,也合同。
《为什么实对称矩阵相似一定合同》:https://zhidao.baidu.com/question/467790592.html?qbl=relate_question_0
2. 二次型的标准型
2.1 标准型唯一吗
不唯一。如果是配方法求得的,那么选取的可逆变换(配方的方式)不同,标准型结果也就不同。
相关链接:《化二次型为标准型的方法》:https://jingyan.baidu.com/article/3065b3b6bcbc86becff8a4d3.html
下面我们来谈不同形式的标准型,能确定什么?不能确定什么?
2.2 标准型与秩
标准型的项数是一定的,该项数就是非0系数,也就是正负惯性指数;就是二次型的秩,也即实对称矩阵A的秩。
注:再说一下,秩与特征值的关系(见1.的例子)。如果A可以相似对角化,那么秩就是非零特征值的个数。这个“如果”很重要!
2.3 标准型与特征值
配方法得的标准型不能确定特征值。
可逆线性变换得到的标准型,其对角线元素,不一定是特征值!虽然二次型可以通过可逆线性变换(配方法),变成这样的对角阵,但是标准型有很多个,也就是有很多这样的对角阵;特征值是确定的,所以这些可逆线性变换得到的标准型,都不可以求出特征值。
特征值的求法:因为这些标准型与特征值无关,所以不能根据它们写特征多项式,而应该回到最初的二次型(实对称矩阵A),用特征方程做。
《配方法化标准型后的平方项系数是特征值吗》:https://zhidao.baidu.com/question/140444370691754565.html?qbl=relate_question_0
2.4 正交变换与特征值
正交变换的标准型可以确定特征值。
诸多可逆线性变换中,只有正交变换得到的标准型,对角线元素,才是特征值。
回忆下相关做法,如何求使之变为标准型时的正交变换?
- 求A的特征值→求特征向量→正交化、单位化→写出正交矩阵Q
发现,正交变换就是在特征值的基础上做的,其结果得到的标准型,也就是特征值拼出的对角阵。
2.5 两个二次型的标准型相同
确定什么?可以确定惯性指数相同,也即二次型平方项的系数正、负个数相等,或是正特征值、负特征值的个数相同。
不能确定什么?不能确定特征值。
3. 规范型
3.1 规范型唯一吗
规范型是唯一的。是因为惯性定理,决定了对于同一个二次型的不同标准型,正、负惯性指数p、q是一定的,而规范型是系数只有1、-1、0的情况。此时说唯一,是不考虑二次型的变量顺序的,比如可以都规定写的顺序是1...-1...0。
3.2 规范型与标准型
同一个规范型可能有多个标准型。
同一个标准型,不可能对应多个规范型。因为标准型的惯性指数是确定的。
3.3 规范型与合同(充要条件)
两实对称矩阵合同,则它们的p、q对应相等(规范型相同)。
若两实对称矩阵的 p、q 相等,则合同。
即规范型对应的不同矩阵是合同的。
4. 等价、相似与合同
《矩阵的等价,合同,相似的联系与区别》:https://wenku.baidu.com/view/acdd8a1d6bd97f192279e9de.html
这篇文章写的很清楚,可详细阅读。
(1)相似、合同可以理解为特殊的等价。
相似必等价,等价未必相似。
合同必等价,等价未必合同。
(2)正交变换既是相似变换,也是合同变换。(使用正交变换得到的相似或合同时,相似与合同一致。)
经正交变换后,两矩阵相似,则必合同。
经正交变换后,两矩阵合同,则必相似。
(3)实对称矩阵A、B,特征根相同时,必相似且合同。
一般矩阵不适用。但实对称矩阵,一定可以相似对角化,所以特征值相同时,A ~ B,此时也合同(见4.(4))。
(4)实对称矩阵A、B,若相似一定合同,若合同未必相似。
若相似,其特征值相同,所以p、q相同,必可以合同。
若合同,保证了正、负系数的个数相同,此时虽然可以相似对角化,但各自具体的特征值一般不同,所以推不出A、B相似。
【例】对角矩阵diag(3,3,3)合同于单位矩阵 E,而 E 只能和 E 相似,显然diag(3,3,3)不相似于E(因为特征值不同)。
注:普通矩阵没有说相似一定合同,因为只在对称矩阵的时候,我们才讨论合同。
(5)不变量:等价时,秩不变;相似时,秩、特征值不变;合同时,秩、惯性指数不变。
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