Chino with Equation (隔板法+除法取模)

链接：

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/553/D

Chino的数学很差，因此Cocoa非常担心。今天，Cocoa要教Chino解不定方程。
众所周知，不定方程的解有0个或者若干个。
给出方程:

Cocoa想知道这个不定方程的正整数解和非负整数解各有几个。
题目对Chino来说太难啦，你能帮一帮Chino吗？

输入描述:

两个正整数m, n

输出描述:

题目要求的答案，即正整数解的个数和非负整数解的个数。由于答案可能会很大，你只需要输出答案 mod(109 + 7) 即可。

输入

4 7

输出

20 120

思路：

①正整数解：相当于将n个球排成一排，球与球之间形成n-1个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的m部分的球数分别为x1、x2、x3…xm之值。则隔法与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为C(n-1,m-1)=C（6，3）=20（个）。

②非负整数解：刚才我们求的是正整数解，现在求非负整数的解（也就是可以为0），我们刚才隔板分成的这些部分都不能为0，现在我们可以转换一下

注意到x1、x2、x3…xm可以为零，故例1解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了，怎么办呢？只要添加m个球，给x1、x2、x3…xm各添加一个球，**这样原问题就转化为求 x1+x2+x3…+xm=n+m的正整数解的个数了，**则问题就等价于把n+m个相同小球放入m个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？易得解的个数为C（n+m-1,m-1）=C（10，3）=120（个）。

还有一个问题就是：取模。

因为涉及到除法取模需要用到费马小定理+逆元

①对于正整数和，如果有，那么把这个同余方程中的最小正整数解叫做模的逆元。

②这个为费马小定理，m为素数是费马小定理的前置条件。

求a/b=x(mod M）

只要M是一个素数,而且b不是M的倍数,就可以用一个逆元整数b1,通过 a/b=a*b1 (mod M)，只能来以乘换除。
费马小定理:对于素数 M 任意不是 M 的倍数的 b，都有：b ^ (M-1) = 1 (mod M)于是可以拆成：b*b^(M-2)=1(mod M)于是:a/b=a/b*(b * b ^ (M-2))=a*(b ^ (M-2)) (mod M)，这里不就是用b^(M-2)代替了1/b吗！

综上：(a/b)%m = a / b * (b*b^(m-2)) = (a * (b^(m-2)))%m;

代码:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll Mod = 1e9+7;
ll qc(ll a,ll b,ll c)
{ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=(ans*a)%c;a=(a*a)%c;b>>=1;}return ans;
}
int main()
{ll n, m;cin >> m >> n;ll sum1 = 1;ll sum3 = 1;ll sum2 = 1;for(int i = 1; i <=m-1; i++) {sum1=(sum1 * (n+m-i))%Mod;sum3=(sum3 * (n-i))%Mod;sum2=(sum2*i)%Mod;}printf("%lld %lld\n",(sum3*qc(sum2,Mod-2,Mod))%Mod,sum1*qc(sum2,Mod-2,Mod)%Mod);return 0;
}