　　求解被积函数是部分分式P(x)/Q(x)的积分，P(x)和Q(x)是关于x多项式。如果不能求出这类积分的原函数，结果将令人沮丧，现在我们要试图寻找一个有效的方法求解这类问题。

选定系数法

　　这个很容易：

　　但是如果将其写成：看起来就不那么容易求解了。这就要求我们能够去掉部分分式的伪装，也就是展开部分分式，变成我们熟悉的被积函数。

　　首先对被积函数的分母进行因式分解，利用初中的十字相乘法：

　　再将其拆分为新的等式：

　　最后再求出A和B，这需要一点技巧。现将等式两边都乘以x – 1，以便消去其中一个分式的分母：

　　将x = 1代入等式，这样就可以消去B的分式，直接求得A：

　　用同样的方法可求得B = 3。于是：

　　掩盖法能够工作必须满足两个条件：

Q(x)能够被因是分解；
P(x)的最高次数 < Q(x)的最高次数

展开部分分式

　　这里不能直接展开成：，这是无法求解的。对于分母是高次项的部分分式，其展开的形态应当型如：

　　所以：

　　这种方法不能求解A，因为没法消除B项。但是可以使用古老的代数法求解，随便找一个数字，代入即可，这里令x = 0，等式变为：

　　最终：

无法线性展开的高次分式

　　将分母的多项式因式分解后，如果每个因式的最高次项都是1次，则称该多项式可以线性展开，如 x³– 3x + 2 = (x – 1)²(x + 2)，对于不能线性展开的多项分式如何求解呢？

　　首先是仍然是因式分解：

　　然后要将部分分式展开，与之前不同，分子要加入一次项：

　　用选定系数法求出A：

　　接下来要设法求解B和C，先将分母全部消去：

　　此时我们观察等式最高次项的次数，右侧展开后会得到Ax² + Bx²，等式左右两边的高次项系数应当相等：

　　由于省略号代表的表达式中将不会出现x²，故B = 1/2，代入可求得C = 1/2

　　最后求解积分：

　　现在面对的就是积分问题了，所以并不是说部分分式展开就万事大吉。第一部分很容易求解，答案是(ln|x - 1|)/2，第二部分可用猜测法求得原函数(ln(x² + 1))/4，第三部分需要借助三角替换，令x = tanθ

　　最终：

处理假分式

　　如果P(x)的次数大于Q(x)的次数，多项式就是一个假分式，这类问题只要将其变为真分式就可以处理。

　　与部分分式相反，第一步是计算多项式：

　　用除法将其变为真分式，这个过程实际上是将小学学过的除法竖式应用于多项式：

　　商是x – 1，余数是3x – 2，所以：

　　又看到了部分分式：

超级复杂的积分

　　被积函数作为部分分式展开：

　　一共有12个未知数，正好和部分分式的最高次数相同。这里并不打算求解这些未知数，只是用该列表示我们可以处理复杂的有理数积分。

　　然而即便展开了部分分式，仍然会面临复杂的积分处理。这个例子将会遇到下面的积分：

　　一共有12个未知数，正好和部分分式的最高次数相同。这里并不打算求解这些未知数，只是用该列表示我们可以处理复杂的有理数积分。

　　然而即便展开了部分分式，仍然会面临复杂的积分处理。这个例子将会遇到下面的积分：

　　没完没了了，应该放弃计算，交给计算机处理，只要知道计算思路即可。

示例

示例1

示例2

示例3

tanθ=2x

示例4

　　作者：我是8位的

　　出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

　　本文以学习、研究和分享为主，如需转载，请联系本人，标明作者和出处，非商业用途！

数学笔记23——部分分式相关推荐

单变量微积分笔记23——部分分式
求解被积函数是部分分式P(x)/Q(x)的积分,P(x)和Q(x)是关于x多项式.如果不能求出这类积分的原函数,结果将令人沮丧,现在我们要试图寻找一个有效的方法求解这类问题. 选定系数法这个很容易: ...
数学笔记24——分部积分
不是所有被积函数都能解析地写出原函数.对于那些可能写出来的函数,也需要一定的积分技巧才能随心所欲,分部积分正是其中很重要的一种技巧. 基本公式部分积分演变自积分的乘法法则: 示例1 看起来很难对付, ...
数学（1）初一上学期数学笔记
初一上学期数学笔记 1.正数正数是数学术语,比0大的数叫正数(positive number),0本身不算正数.正数与负数表示意义相反的量. 正数前面常有一个符号"+",通常可以 ...
StatQuest学习笔记23——RNA-seq简介
StatQuest学习笔记23--RNA-seq简介前言--主要内容这篇笔记是StatQuest系列笔记的第58节,主要内容是讲RNA-seq的原理.StatQuest系列教程的58到62节是协录 ...
读书笔记：《思考的乐趣：Matrix67数学笔记》第4章统计数据的陷阱
<思考的乐趣:Matrix67数学笔记>第4章讲了几个统计学上的陷阱,由于现在流行的大数据与统计学很有渊源,所以认真读了这一章,在<大数据时代>中指出只考虑相关性就够了,而不考 ...
程序的加载和执行（三）——《x86汇编语言：从实模式到保护模式》读书笔记23
程序的加载和执行(三)--读书笔记23 接着上次的内容说. 关于过程load_relocate_program的讲解还没有完,还差创建栈段描述符和重定位符号表. 1.分配栈空间与创建栈段描述符 462 ...
数学笔记3——导数3（隐函数的导数）
数学笔记3--导数3(隐函数的导数) 幂函数的扩展形式 f(x) = xn的导数:f'(x) = nxn-1,n是整数,该公式对f(x) = xm/n, m,n 是整数同样适用. 推导过程: 什么是隐 ...
程序员的数学笔记3--迭代法
第三节课程,介绍的是迭代法. 前两节笔记的文章: 程序员的数学笔记1–进制转换程序员的数学笔记2–余数 03 迭代法什么是迭代法迭代法,简单来说,其实就是不断地用旧的变量值,递推计算新的变量值. ...
程序员的数学笔记2--余数
上一节程序员的数学笔记1–进制转换是介绍了进制,特别是十进制和二进制之间的转换,移位操作和逻辑操作. 今天介绍的是余数,看完本节笔记,你会发现生活中有很多东西都有余数的影子. 余数余数的特性整数是 ...

数学笔记23——部分分式