利用罗尔中值定理解题的一般步骤

罗尔定理：设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内可导,f(a)=f(b),则存在ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=0罗尔定理：设f(x)\ \in\ C[a,b],在(a,b)内可导,f(a)=f(b),则存在\xi\ \in(a,b),使得f'(\xi)=0 罗尔定理：设f(x) ∈ C[a,b],在(a,b)内可导,f(a)=f(b),则存在ξ ∈(a,b),使得f′(ξ)=0

构造辅助函数

还原法构造辅助函数步骤：
- 将待证结论中的ξ\xiξ换成x
- 想办法构造出f′(x)f(x)+lnΔ=0\frac{f'(x)}{f(x)}+ln\Delta=0f(x)f′(x)+lnΔ=0的形式
- 合并上面的两项得[lnf(x) Δ]=0[lnf(x)\;\Delta]=0[lnf(x)Δ]=0
- 取lnlnln里面的表达式作为辅助函数φ(x)=f(x) Δ\varphi(x)=f(x)\;\Deltaφ(x)=f(x)Δ
将区间端点代入至辅助函数即可使用罗尔定理
对辅助函数求导，并结合第2步得出证明结论

例题：f(x)∈C[0,1],在(0,1)内可导,f(1)=0,证明存在ξ∈(0,1)使得2f(ξ)+ξf′(ξ)=0f(x)\ \in\ C[0,1],在(0,1)内可导,f(1)=0,证明存在\ \xi\ \in(0,1)使得2f(\xi)+\xi f'(\xi)=0f(x) ∈ C[0,1],在(0,1)内可导,f(1)=0,证明存在 ξ ∈(0,1)使得2f(ξ)+ξf′(ξ)=0

解：
1° 用还原法构造辅助函数

将待证结论中的ξ\xiξ换成x得：

2f(x)+xf′(x)=02f(x)+xf'(x)=02f(x)+xf′(x)=0

两边同除xf(x)xf(x)xf(x)即可得到f′(x)f(x)+lnΔ=0\frac{f'(x)}{f(x)}+ln\Delta=0f(x)f′(x)+lnΔ=0的形式

2x+f′(x)f(x)=0\frac{2}{x}+\frac{f'(x)}{f(x)}=0x2+f(x)f′(x)=0

让2x也变成ln的形式，还原为lnx2,顺便把f′(x)f(x)也还原成lnf(x),利用公式:lna+lnb=lnab将这两项合并让\frac{2}{x}也变成ln的形式，还原为lnx^2,顺便把\frac{f'(x)}{f(x)}也还原成lnf(x),利用公式:lna+lnb=lnab将这两项合并让x2也变成ln的形式，还原为lnx2,顺便把f(x)f′(x)也还原成lnf(x),利用公式:lna+lnb=lnab将这两项合并

[lnf(x)x2]′=0[lnf(x)x^2]'=0[lnf(x)x2]′=0

取lnlnln里面的表达式作为辅助函数φ(x)=f(x)x2\varphi(x)=f(x)x^2φ(x)=f(x)x2

2° 将区间端点代入至辅助函数，再使用罗尔定理

∵φ(0)=φ(1)=0\because \varphi(0)=\varphi(1)=0∵φ(0)=φ(1)=0
∴∋ξ∈(0,1)使φ′(ξ)=0\therefore\ \ni \xi \in(0,1)使\varphi '(\xi)=0∴ ∋ξ∈(0,1)使φ′(ξ)=0

3°对辅助函数求导
φ′(x)=2xf(x)+x2f′(x)整理成要证明的结论的形式⟹x[2f(x)+xf′(x)]\varphi '(x)=2xf(x)+x^2f'(x)\ 整理成要证明的结论的形式 \Longrightarrow x[2f(x)+xf'(x)]φ′(x)=2xf(x)+x2f′(x) 整理成要证明的结论的形式⟹x[2f(x)+xf′(x)]
结合2°可得φ′(ξ)=ξ[2f(ξ)+ξf′(ξ)]=0\varphi '(\xi)=\xi[2f(\xi)+\xi f'(\xi)]=0φ′(ξ)=ξ[2f(ξ)+ξf′(ξ)]=0
∵ξ∈(0,1)≠0\because \xi \in(0,1) \neq 0∵ξ∈(0,1)̸=0
∴2f(ξ)+ξf′(ξ)=0\therefore 2f(\xi)+\xi f'(\xi)=0∴2f(ξ)+ξf′(ξ)=0

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