Matlab中FFT运算加窗函数的验证

在上一篇博客中，介绍了MATLAB中的IFFT和虚部取反后的FFT的验证，结果表明是一致的。

https://blog.csdn.net/weixin_42316458/article/details/80462145#comments_13197383

有人提问：“做了逆变换之后为啥头部和尾部的信号和原始信号不一致了啊？能否通过某种方式恢复呢”

通过图形可以看出，在“IFFT时域”和“虚部取反做FFT时域”，结果是一致的。同时也看出，在头部和尾部与“原信号”均有差异。原因是加了窗函数的原因。而加窗函数的原因，是为了减少泄露。

泄露的产生

因为对于傅里叶变化运算的前提是：信号是周期性的信号。如果是周期性信号，则FFT后的模值更加聚集在一起，而如果是非周期性信号，则频域模值会分散。如下图所示：

加窗函数的目的

在实操中，也只有加窗函数，把头部和尾部都通过乘以系数衰减，这样才能把信号认为是周期信号。（比如上图红线和黑线，在时域上再复制一个它，依然是连接起来的）。

如果不加窗函数，那么就会造成泄漏。关于泄漏，可以理解为是由于信号不是周期性信号，在FFT后，由于头部和尾部的原因，造成结果在模值上看有一些其他成分。具体可看下图：

如果不加窗函数，FFT的结果就是在周围也会存在其他频率（上图红线）。而可以通过增加窗函数，使频率更加聚集（上图蓝线）。

窗函数类型

窗函数有：矩形窗，三角形窗，汉宁窗（Hanning），海明窗（Hamming），布莱克曼窗（Blackman）……等，每个都有各自的特性。上一篇博客中，我使用汉宁窗hanning。档使用矩形窗函数时，相当于是没有加窗，这样可以验证不加窗函数的结果。以下图片是针对一正弦波加不同窗函数结果。

以下MATLAB程序在2016a版上运行，可直接生成以上3图

clear;clc;clf;
%% 参数
Fs=24000;
timeS = 0.2;                %长度参数
t1 = 0:1/Fs:timeS;          %周期信号时间参数
t = 0:1/Fs:timeS+0.002;     %非周期信号时间参数
plotX = 39;                %作图参数
plotY = 1700;               %作图参数%% 周期性信号
y1=sin(200*2*pi*t1);     %24k采样率下，生成200Hz正弦波
yfft1=fft(y1);
yifft1=ifft(yfft1);%% 非周期性信号
y=sin(200*2*pi*t+50);       %24k采样率下，生成200Hz正弦波
yfft=fft(y);                %不加窗运算
yifft=ifft(yfft);%% 非周期性信号加窗函数
Windows=hanning(length(y));
yWindows=y.*Windows';       %加窗运算
yfftWindows=fft(yWindows);
yifftWindows=ifft(yfftWindows);%% 作图
figure(1);
subplot(331);plot(y1);xlabel('周期性信号时域');
subplot(334);plot(abs(yfft1));axis([plotX,plotX*1.2,-plotY,plotY*1.5]);xlabel('周期性信号频域');
subplot(337);plot(real(yifft1));xlabel('IFFT信号时域');subplot(332);plot(y);xlabel('非周期性信号时域');
subplot(335);plot(abs(yfft));axis([plotX,plotX*1.2,-plotY,plotY*1.5]);xlabel('非周期性信号频域');
subplot(338);plot(real(yifft));xlabel('IFFT信号时域');subplot(333);plot(yWindows);xlabel('加窗函数信号时域');
subplot(336);plot(abs(yfftWindows));axis([plotX,plotX*1.2,-plotY,plotY*1.5]);xlabel('加窗函数信号频域');
subplot(339);plot(real(yifftWindows));xlabel('IFFT信号时域');figure(2);
plot(abs(yfft),'r');hold on
yfftWindows = yfftWindows*(max(abs(yfft))/max(abs(yfftWindows)));    %把最大值转换成一样，方便作图对比查看
plot(abs(yfftWindows),'b');axis([plotX,plotX*1.2,-plotY*0.5,plotY*1.8]);grid on
xlabel('非周期性信号加窗函数和不加窗函数时域对比');
legend('不加窗函数','加窗函数');%% 使用不同窗函数效果
WindowsHanning=hanning(length(y));
WindowsHamming=hamming(length(y));
WindowsTri=triang(length(y));yW1=y.*WindowsHanning';       %加窗运算
yW1=fft(yW1);
yW2=y.*WindowsHamming';       %加窗运算
yW2=fft(yW2);
yW3=y.*WindowsTri';       %加窗运算
yW3=fft(yW3);figure(3);
plot(abs(yfft),'b');hold on;
plot(abs(yW1),'k');hold on;
plot(abs(yW2),'r');hold on;
plot(abs(yW3),'g');axis([plotX*0.95,plotX*1.2,-plotY*0.05,plotY*1.1]);grid on
xlabel('不同窗函数的对比');
legend('不加窗函数','汉宁窗','海明窗','三角窗');

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