博文来源：https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/fft.html?searchHighlight=fft&s_tid=doc_srchtitle

视频来源很好的解释了：

1 .傅里叶变换过程，经过傅里叶变化得到了，频率w，振幅a0，相位角φ；

2. 傅里叶变换 主要应用领域： 声音， 图像处理；

博文则很好的解释了：

1.  傅里叶变换在matlab软件中怎样应用

2.. 傅里叶变换的作用效果的展示，从时域到频域的变化，时域难以解决的问题到频域中却很清晰。

说明

Y = fft(X) 用快速傅里叶变换 (FFT) 算法计算 X 的离散傅里叶变换 (DFT)。

如果 X 是向量，则 fft(X) 返回该向量的傅里叶变换。

如果 X 是矩阵，则 fft(X) 将 X 的各列视为向量，并返回每列的傅里叶变换。

如果 X 是一个多维数组，则 fft(X) 将沿大小不等于 1 的第一个数组维度的值视为向量，并返回每个向量的傅里叶变换。

Y = fft(X,n) 返回 n 点 DFT。如果未指定任何值，则 Y 的大小与 X 相同。

如果 X 是向量且 X 的长度小于 n，则为 X 补上尾零以达到长度 n。

如果 X 是向量且 X 的长度大于 n，则对 X 进行截断以达到长度 n。

如果 X 是矩阵，则每列的处理与在向量情况下相同。

如果 X 为多维数组，则大小不等于 1 的第一个数组维度的处理与在向量情况下相同。

Y = fft(X,n,dim) 返回沿维度 dim 的傅里叶变换。例如，如果 X 是矩阵，则 fft(X,n,2) 返回每行的 n 点傅里叶变换。

示例

噪声信号

使用傅里叶变换求噪声中隐藏的信号的频率分量。

指定信号的参数，采样频率为 1 kHz，信号持续时间为 1.5 秒。

Fs = 1000; % Sampling frequency

T = 1/Fs; % Sampling period

L = 1500; % Length of signal

t = (0:L-1)*T; % Time vector

构造一个信号，其中包含幅值为 0.7 的 50 Hz 正弦量和幅值为 1 的 120 Hz 正弦量。

S = 0.7*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t);

用均值为零、方差为 4 的白噪声扰乱该信号。

X = S + 2*randn(size(t));

在时域中绘制噪声信号。通过查看信号 X(t) 很难确定频率分量。

plot(1000*t(1:50),X(1:50))

title('Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise')

xlabel('t (milliseconds)')

ylabel('X(t)')

计算信号的傅里叶变换。

Y = fft(X);

计算双侧频谱 P2。然后基于 P2 和偶数信号长度 L 计算单侧频谱 P1。

P2 = abs(Y/L);

P1 = P2(1:L/2+1);

P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);

定义频域 f 并绘制单侧幅值频谱 P1。与预期相符，由于增加了噪声，幅值并不精确等于 0.7 和 1。一般情况下，较长的信号会产生更好的频率近似值。

f = Fs*(0:(L/2))/L;

plot(f,P1)

title('Single-Sided Amplitude Spectrum of X(t)')

xlabel('f (Hz)')

ylabel('|P1(f)|')

现在，采用原始的、未破坏信号的傅里叶变换并检索精确幅值 0.7 和 1.0。

Y = fft(S);

P2 = abs(Y/L);

P1 = P2(1:L/2+1);

P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);

plot(f,P1)

title('Single-Sided Amplitude Spectrum of S(t)')

xlabel('f (Hz)')

ylabel('|P1(f)|')

高斯脉冲

将高斯脉冲从时域转换为频域。

定义信号参数和高斯脉冲 X。

Fs = 100; % Sampling frequency

t = -0.5:1/Fs:0.5; % Time vector

L = length(t); % Signal length

X = 1/(4*sqrt(2*pi*0.01))*(exp(-t.^2/(2*0.01)));

在时域中绘制脉冲。

plot(t,X)

title('Gaussian Pulse in Time Domain')

xlabel('Time (t)')

ylabel('X(t)')

要使用 fft 将信号转换为频域，首先从原始信号长度确定是下一个 2 次幂的新输入长度。这将用尾随零填充信号 X 以改善 fft 的性能。

n = 2^nextpow2(L);

将高斯脉冲转换为频域。

Y = fft(X,n);

定义频域并绘制唯一频率。

f = Fs*(0:(n/2))/n;

P = abs(Y/n);

plot(f,P(1:n/2+1))

title('Gaussian Pulse in Frequency Domain')

xlabel('Frequency (f)')

ylabel('|P(f)|')

余弦波

比较时域和频域中的余弦波。

指定信号的参数，采样频率为 1kHz，信号持续时间为 1 秒。

Fs = 1000; % Sampling frequency

T = 1/Fs; % Sampling period

L = 1000; % Length of signal

t = (0:L-1)*T; % Time vector

创建一个矩阵，其中每一行代表一个频率经过缩放的余弦波。结果 X 为 3×1000 矩阵。第一行的波频为 50，第二行的波频为 150，第三行的波频为 300。

x1 = cos(2*pi*50*t); % First row wave

x2 = cos(2*pi*150*t); % Second row wave

x3 = cos(2*pi*300*t); % Third row wave

X = [x1; x2; x3];

在单个图窗中按顺序绘制 X 的每行的前 100 个项，并比较其频率。

for i = 1:3

subplot(3,1,i)

plot(t(1:100),X(i,1:100))

title(['Row ',num2str(i),' in the Time Domain'])

end

出于算法性能的考虑，fft 允许您用尾随零填充输入。在这种情况下，用零填充 X 的每一行，以使每行的长度为比当前长度大的下一个最小的 2 的次幂值。使用 nextpow2 函数定义新长度。

n = 2^nextpow2(L);

指定 dim 参数沿 X 的行(即对每个信号)使用 fft。

dim = 2;

计算信号的傅里叶变换。

Y = fft(X,n,dim);

计算每个信号的双侧频谱和单侧频谱。

P2 = abs(Y/L);

P1 = P2(:,1:n/2+1);

P1(:,2:end-1) = 2*P1(:,2:end-1);

在频域内，为单个图窗中的每一行绘制单侧幅值频谱。

for i=1:3

subplot(3,1,i)

plot(0:(Fs/n):(Fs/2-Fs/n),P1(i,1:n/2))

title(['Row ',num2str(i),' in the Frequency Domain'])

end

输入参数

X - 输入数组 向量 | 矩阵 | 多维数组

输入数组，指定为向量、矩阵或多维数组。

如果 X 为 0×0 空矩阵，则 fft(X) 返回一个 0×0 空矩阵。

数据类型：double | single | int8 | int16 | int32 | uint8 | uint16 | uint32 | logical 复数支持：是

n - 变换长度 [] (默认) | 非负整数标量

变换长度，指定为 [] 或非负整数标量。为变换长度指定正整数标量可以提高 fft 的性能。通常，长度指定为 2 的幂或可分解为小质数的乘积的值。如果 n 小于信号的长度，则 fft 忽略第 n 个条目之后的剩余信号值，并返回截断的结果。如果 n 为 0，则 fft 返回空矩阵。

示例：n = 2^nextpow2(size(X,1))

数据类型：double | single | int8 | int16 | int32 | uint8 | uint16 | uint32 | logical

dim - 沿其运算的维度 正整数标量

沿其运算的维度，指定为正整数标量。如果未指定值，则默认值是大小不等于 1 的第一个数组维度。

fft(X,[],1) 沿 X 的各列进行运算，并返回每列的傅里叶变换。

fft(X,[],2) 沿 X 的各行进行运算，并返回每行的傅里叶变换。

如果 dim 大于 ndims(X)，则 fft(X,[],dim) 返回 X。当指定 n 时，fft(X,n,dim) 将对 X 进行填充或截断，以使维度 dim 的长度为 n。

数据类型：double | single | int8 | int16 | int32 | uint8 | uint16 | uint32 | logical

输出参数

Y - 频域表示 向量 | 矩阵 | 多维数组

频域表示，以向量、矩阵或多维数组形式返回。

如果 X 的类型为 single，则 fft 本身以单精度进行计算，Y 的类型也是 single。否则，Y 以 double 类型返回。

Y 的大小如下：

对于 Y = fft(X) 或 Y = fft(X,[],dim)，Y 的大小等于 X 的大小。

对于 Y = fft(X,n,dim)，size(Y,dim) 的值等于 n，而所有其他维度的大小保持与在 X 中相同。

如果 X 为实数，则 Y 是共轭对称的，且 Y 中特征点的数量为 ceil((n+1)/2)。

数据类型：double | single

详细信息

向量的离散傅里叶变换

Y = fft(X) 和 X = ifft(Y) 分别实现傅里叶变换和逆傅里叶变换。对于长度 n 的 X 和 Y，这些变换定义如下：

Y(k)=nj=1X(j)W(j−1)​(k−1)nX(j)=1nnk=1Y(k)Wn−(j−1)​(k−1),

其中

Wn=e(−2πi)/n

为 n 次单位根之一。

提示

fft 的执行时间取决于变换的长度。仅具有小质因数的变换长度的 fft 执行时间明显快于本身是质数或具有较大质因数的变换长度的 fft 执行时间。

对于大多数 n 值，实数输入的 DFT 需要的计算时间大致是复数输入的 DFT 计算时间的一半。但是，当 n 有较大的质因数时，速度很少有差别或没有差别。

使用工具函数 fftw 可能会提高 fft 的速度。此函数控制用于计算特殊大小和维度的 FFT 算法优化。

算法

FFT 函数(fft、fft2、fftn、ifft、ifft2、ifftn)基于一个称为 FFTW [1] [2] 的库。

参考

[2] Frigo, M., and S. G. Johnson. “FFTW: An Adaptive Software Architecture for  the FFT.” Proceedings of the International Conference on Acoustics, Speech,  and Signal Processing. Vol. 3, 1998, pp. 1381-1384.

扩展功能

C/C++ 代码生成 使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

用法说明和限制：

对于 MEX 输出，MATLAB® Coder™ 使用 MATLAB 用于 FFT 算法的库。对于独立的 C/C++ 代码，默认情况下，代码生成器生成用于 FFT 算法的代码，而不是生成 FFT 库调用。要生成对安装的特定 FFTW 库的调用，请提供

对于 MATLAB Function 模块的仿真，仿真软件使用 MATLAB 用于 FFT 算法的库。对于 C/C++ 代码生成，默认情况下，代码生成器生成用于 FFT 算法的代码，而不是生成 FFT 库调用。要生成对安装的特定 FFTW 库的调用，请提供

GPU 数组 通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

用法说明和限制：

即使所有虚部都为零，输出 Y 也始终为复数。

有关详细信息，请参阅Run MATLAB Functions on a GPU (Parallel Computing Toolbox)。

分布式数组 使用 Parallel Computing Toolbox™ 在群集的组合内存中对大型数组进行分区。

用法说明和限制：

对于分布式数组，fft 不使用并行 FFT 算法，而是在单个工作进程上收集向量以执行质数长度 FFT。对于质数长度较大的向量 FFT，可能导致内存不足错误。

在 R2006a 之前推出