闵可夫斯基和算法（时间复杂度 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)）

附：二分判断点是否在凸包内（时间复杂度 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)）

官方定义：两个图形 A , B A,B A,B的闵可夫斯基和 C = ( a + b ∣ a ∈ A , b ∈ B ) C=(a+b|a∈A,b∈B) C=(a+b∣a∈A,b∈B)
通俗一点：从原点向图形A内部的每一个点做向量，将图形B沿每个向量移动，所有的最终位置的并便是闵可夫斯基和（具有交换律）

详细思路见博客：

闵可夫斯基和

核心代码：

point v1[N], v2[N]; // 记录两个凸包的向量集
struct polygon{point P[N];int n, m;int sta[N];void andrew(){sort(P, P + n);n = unique(P, P + n) - P;m = 0;for(int i=0; i<n; i++)       //先求下凸包{while(m > 1 && sign(area(P[sta[m - 2]], P[sta[m - 1]], P[i])) <= 0) m--;sta[m++] = i;}int v = m;for(int i=n - 2; i>=0; i--)  //再求上凸包{while(m > v && sign(area(P[sta[m - 2]], P[sta[m - 1]], P[i])) <= 0) m--;sta[m++] = i;}if(n > 1) m--;              // 删去末尾多余的起始点，最后凸包是闭合的}void get_vector(point * v){     // 得到两个凸包的向量集for(int i=0; i<m; i++) v[i] = P[sta[(i + 1) % m]] - P[sta[i]];}void minkowski(polygon & A, polygon & B) // 计算凸包A和凸包B的闵可夫斯基和，并记录在此结构体{A.get_vector(v1); B.get_vector(v2);n = 0;P[n++] = A.P[A.sta[0]] + B.P[B.sta[0]];int l1 = 0, l2 = 0;while(l1 < A.n && l2 < B.n) P[n] = P[n - 1] + (cross(v1[l1], v2[l2]) > 0 ? v1[l1++] : v2[l2++]), n++;while(l1 < A.n) P[n] = P[n - 1] + v1[l1++], n++;while(l2 < B.n) P[n] = P[n - 1] + v2[l2++], n++;andrew();}bool in_convex(point p)                 // 二分判断点p是否在凸包内，时间复杂度O(nlogn){int l = 1, r = m - 2;while(l <= r){int mid = l + r >> 1;double a1 = area(P[sta[0]], P[sta[mid]], p);double a2 = area(P[sta[0]], P[sta[mid + 1]], p);if(sign(a1) >= 0 && sign(a2) <= 0){if(sign(area(P[sta[mid]], P[sta[mid + 1]], p)) >= 0)return 1;return 0;}else if(sign(a1) < 0)r = mid - 1;elsel = mid + 1;}return 0;}
}A, B, C;

main()函数中的计算如下所示

int main()
{A.andrew(); B.andrew();  // 先求A和B的凸包C.minkowski(A, B);      // 再把A和B的闵可夫斯基和记录在C中，求一下凸包
}

一道例题

P4557 [JSOI2018]战争

题解：闵可夫斯基和

AC代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdio>using namespace std;//基本定义
const double pi = acos(-1);
const double eps = 1e-8;
const int N = 2e5 + 10;
int dcmp(double x, double y){if(fabs(x - y) < eps) return 0;if(x < y) return -1;return 1;
}
int sign(double x)
{if(fabs(x) < eps) return 0;if(x < 0) return -1;return 1;
}//点，向量
struct point{double x, y;bool operator < (const point a) const {if(dcmp(x, a.x)) return dcmp(x, a.x) < 0;return dcmp(y, a.y) < 0;}bool operator == (const point a) const { return !dcmp(x, a.x) && !dcmp(y, a.y); }
};point operator + (point a, point b) { return {a.x + b.x, a.y + b.y}; }
point operator - (point a, point b) { return {a.x - b.x, a.y - b.y}; }
point operator * (point a, double p) { return {a.x * p, a.y * p}; }
point operator / (point a, double p) { return {a.x / p, a.y / p}; }//向量运算
double dot(point a, point b) { return a.x * b.x + a.y * b.y; }
double cross(point a, point b) { return a.x * b.y - b.x * a.y; }
double length(point a) { return sqrt(dot(a, a)); }
double angle(point a) { return atan2(a.y, a.x); }                           // 返回向量a的极角，值域为(-pi, pi]
double angle(point a, point b) { return acos(dot(a, b) / length(a) / length(b)); } // 返回向量a,b的夹角
double area(point a, point b, point c) { return cross(b - a, c - a); }      // 返回a->b->c的三角形的有向面积
point rotate(point a, double rad) { return {a.x * cos(rad) - a.y * sin(rad), a.x * sin(rad) + a.y * cos(rad)}; } // rad为弧度 且为逆时针旋转的角double project(point a, point b) { return dot(a, b) / length(b); }          // 返回向量a再向量b上的投影
point norm(point a) { return a / length(a); }
double get_dis(point a, point b) { return length(a - b); }bool on_segment(point a, point b, point c){          // 判断平面上的点c是否在线段ab上return sign(cross(b - a, c - a)) == 0 && sign(dot(c - a, c - b)) <= 0;
}point v1[N], v2[N];
struct polygon{point P[N];int n, m;int sta[N];void input(){for(int i=0; i<n; i++) scanf("%lf %lf", &P[i].x, &P[i].y);}void andrew(){sort(P, P + n);n = unique(P, P + n) - P;m = 0;for(int i=0; i<n; i++)      //先求下凸包{while(m > 1 && sign(area(P[sta[m - 2]], P[sta[m - 1]], P[i])) <= 0) m--;sta[m++] = i;}int v = m;for(int i=n - 2; i>=0; i--) //再求上凸包{while(m > v && sign(area(P[sta[m - 2]], P[sta[m - 1]], P[i])) <= 0) m--;sta[m++] = i;}if(n > 1) m--;              // 删去末尾多余的起始点，最后凸包是闭合的}void get_vector(point * v){for(int i=0; i<m; i++) v[i] = P[sta[(i + 1) % m]] - P[sta[i]];}void minkowski(polygon & A, polygon & B){A.get_vector(v1); B.get_vector(v2);n = 0;P[n++] = A.P[A.sta[0]] + B.P[B.sta[0]];int l1 = 0, l2 = 0;while(l1 < A.n && l2 < B.n) P[n] = P[n - 1] + (cross(v1[l1], v2[l2]) > 0 ? v1[l1++] : v2[l2++]), n++;while(l1 < A.n) P[n] = P[n - 1] + v1[l1++], n++;while(l2 < B.n) P[n] = P[n - 1] + v2[l2++], n++;// for(int i=0; i<n; i++) cout<<"# "<<P[i].x<<" "<<P[i].y<<endl;// for(int i=0; i<A.n; i++) cout<<"## "<<v1[i].x<<" "<<v1[i].y<<endl;// for(int i=0; i<B.n; i++) cout<<"### "<<v2[i].x<<" "<<v2[i].y<<endl;andrew();}bool in_convex(point p){int l = 1, r = m - 2;while(l <= r){int mid = l + r >> 1;double a1 = area(P[sta[0]], P[sta[mid]], p);double a2 = area(P[sta[0]], P[sta[mid + 1]], p);if(sign(a1) >= 0 && sign(a2) <= 0){if(sign(area(P[sta[mid]], P[sta[mid + 1]], p)) >= 0)return 1;return 0;}else if(sign(a1) < 0)r = mid - 1;elsel = mid + 1;}return 0;}
}A, B, C;int main()
{int q; scanf("%d %d %d", &A.n, &B.n, &q);A.input(); B.input();for(int i=0; i<B.n; i++) B.P[i].x = -B.P[i].x, B.P[i].y = -B.P[i].y;A.andrew(); B.andrew();C.minkowski(A, B);// for(int i=0; i<C.m; i++) cout<<C.P[C.sta[i]].x<<" "<<C.P[C.sta[i]].y<<endl;while(q--){point p; scanf("%lf %lf", &p.x, &p.y);if(C.in_convex(p)) printf("1\n");else printf("0\n");}return 0;
}

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