games202：五，基于物理的材质：Microfacet、Kulla-Conty估计、LTC、NPR

一，微表面模型Microfacet BRDF
- 1.1NDF
- - 1.1.1 Beckmann分布
  - 1.1.2 GGX分布
- 1.2 G几何修正项
- 1.3 能量补偿项
- - 1.3.1 Kulla-Conty估计方法
  - 特别提醒
- 1.4 线性变换余弦（LTC-Linearly Transformed Cosines）
二，迪士尼Disney Principled BRDF
三，NPR - Non-photorealistic rendering
- 3.1 描边Outline
- 3.2 色块
- 3.3 素描Strokes Surface Stylization
参考资料

今天讲我们熟悉的PBR啦，PBR实际包含材质、光照、相机(透镜成像)、光线传播等等，一般说起来就是指材质。

在RTR中的PBR：
1. 对表面：大部分是用微表面模型和迪士尼原则的BRDF（艺术家友好但不是PBR）。
2. 对体积：多数关注快速近似计算单独或多重的散射。（头发TressFX、皮肤、云等）
3. RTR中基本都不是PBR，使用各种小技巧来模拟离线渲染，性能才是第一位

一，微表面模型Microfacet BRDF

复习下微表面理论：微平面理论复习

f c o o k − t o r r a n c e = F ( i , h ) G ( i , o , h ) D ( h ) 4 ( n , i ) ( n , o ) f_{cook-torrance}= \frac {F(i,h)G(i,o,h)D(h)}{4(n,i)(n,o)} fcook−torrance=4(n,i)(n,o)F(i,h)G(i,o,h)D(h)

F为菲涅尔方程(Fresnel Rquation)，考虑不同入射角下反射光所占比例的区别（角度越大，反射越多）----[0.1]
G为几何函数(Geometry Function)（也叫Masking-Shadowing项），描述微表面之间的自遮挡（光线入射角大时更容易遮挡）----[0.1]
D为法线分布函数(Normal Distribution Function–NDF)，有Beckmann、GGX、严老师模型等分布模型「法线分布函数复习」

1.1NDF

1.1.1 Beckmann分布

D b ( h ) = e x p − t a n 2 θ h α 2 π α 2 c o s 4 θ h D_{b}(h) = \frac{exp^{- \frac{tan^2θ_h}{α^2}}}{πα^2cos^4θ_h} Db(h)=πα2cos4θhexp−α2tan2θh
（类高斯分布），其中θ为n、h的夹角，这里用tanθ而不是用θ是因为BeckmannNDF被定义在坡度空间上，见下图，即把高斯函数定义在一个平面上，又因为高斯函数的远处无线小但大于0，在平面最远处可以定义一个极限90度的tan数值，这样可以保证不可能出现大于90而朝下的微表面。

1.1.2 GGX分布

比Beckmann有更好的Long tail高光长尾（衰减更加柔和）

1.2 G几何修正项

又名Shadowing Masking项。

自遮挡可以分为两种情况：挡住入射光线，被称为阴影（Shadowing）；挡住出射光线，被称为遮蔽（Masking）。G就是提供这个使表面“变暗”的操作。
另外，公式中除G项外的结果，在物体边缘掠射角度处会变得异常亮，而G项可以修正这一点
常用的是Smith几何项

1.3 能量补偿项

在G项计算中，由于没有考虑到多次弹射中的能量损失，所以当粗糙度大时能量不守恒（粗糙度大整体变暗），而且越粗糙能量损失越多。

工业界为了解决这个问题会对模型增加一个能量补偿项，通过创建一个额外的BRDF波瓣来近似估计丢失的能量。（当光线不被遮挡的时候会直接被看到；而当反射光线被微表面遮挡的时候，认为这些被挡住的光线经过后续弹射，直到被看到）

1.3.1 Kulla-Conty估计方法

（通过经验方式补全丢失的能量）

假设L为1，那么一次反射后的出射能量为 E ( μ o ) = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 f ( μ o , μ i , φ ) μ i d μ i d φ − > ( μ i = s i n θ ) E(μ_o) = \int_{0}^{2π} \int_{0}^{1} f(μ_o,μ_i,φ)μ_idμ_idφ-> (μ_i=sinθ) E(μo)=∫02π∫01f(μo,μi,φ)μidμidφ−>(μi=sinθ)，那么光线丢失的能量就是 1 − E ( μ o ) 1-E(μ_o) 1−E(μo)。
再考虑到BRDF的可逆性，入射出射方向的丢失都要考虑，因此这里的BRDF设计为 c ( 1 − E ( μ o ) ) ( 1 − E ( μ i ) ) c(1-E(μ_o))(1-E(μ_i)) c(1−E(μo))(1−E(μi))，要求将这个BRDF积分后，要等于恰好等于丢失的能量。
这里的c可以计算出来 c = 1 π ( 1 − E a v g ) c = \frac {1}{π(1-E_{avg})} c=π(1−Eavg)1， E a v g E_{avg} Eavg是半球上E的余弦加权平均值， E a v g = 2 ∫ 0 1 E μ μ d μ E_{avg} = 2 \int_{0}^{1}E_{μ}μdμ Eavg=2∫01Eμμdμ
推导过程如下（贴大佬）：

但 E a v g E_{avg} Eavg还是不知道且很复杂，对于这种复杂又不知道有无解析解的积分，我们可以：预计算、打表，由于这里的积分只与粗糙度和μ有关，我们可以得到预计算图（而且由于过度平缓，32*32分辨率就行）

这样做后结果明显好转：

但此时依然有问题，因为如果BRDF是有颜色的，则能量会吸收，能量积分和不为1了。Kulla-Conty方法是先考虑没有颜色的情况，再考虑由颜色引起的能量损失(从菲涅尔项入手–菲涅尔就体现了不同波长的反射率)。
这里定义了“平均菲涅尔项”(不考虑观察方向的情况下) F a v g = ∫ 0 1 F ( μ ) μ d μ ∫ 0 1 μ d μ = 2 ∫ 0 1 F ( μ ) μ d μ F_{avg} = \frac{\int_0^1 F(μ)μdμ}{\int_0^1μdμ} = 2\int_0^1 F(μ)μdμ Favg=∫01μdμ∫01F(μ)μdμ=2∫01F(μ)μdμ
在有颜色时，第一次反射有 F a v g E a v g F_{avg}E_{avg} FavgEavg的能量被反射，第二次有 F a v g ( 1 − E a v g ) F a v g E a v g F_{avg}(1-E_{avg})F_{avg}E_{avg} Favg(1−Eavg)FavgEavg的能量被反射，可以得到累加颜色项 F a v g E a v g 1 − F a v g ( 1 − E a v g ) \frac{F_{avg}E_{avg}}{1-F_{avg}(1-E_{avg})} 1−Favg(1−Eavg)FavgEavg与不带颜色的结果相乘，即可补足颜色的能量损失。

特别提醒

有的人或引擎（点名learnopengl）在微表面BRDF后加上一个diffuse，这样做完全错且没有意义且完全错误，物理不正确且不守恒，会搞出来会发光的物体…………（还好我直射光没加，但计算环境光还是加了，是参考opengl的），老师没教过这种做法，这么写了出门别说是他学生……

1.4 线性变换余弦（LTC-Linearly Transformed Cosines）

LTC是为了解决微表面模型下「多边形光源采样问题」的一种专门的着色方法（用GGX-NDF且无阴影）。

任意BRDF的任意光源下的渲染方程积分不好计算，该方法将2d的BRDF线性变换为截断余弦分布，将问题转换为固定余弦下对任意多边形光源积分的问题（有解析解），从而大大的提升了面光源积分的计算效率。

核心方法：

对任意观察方向预计算一个变化矩阵M，将标准空间的BRDF转化到余弦空间，这个过程中所有输入w的方向、积分域都相应改变（相当于用一个余弦空间lobe去拟合标准lobe，整个面光源都被变换）。

具体计算：

在面光源中假设光源 L i L_i Li是uniform的，因此渲染方程变为 L ( ω o ) = L i ⋅ ∫ P F ( ω i ) d ω i L(ω_o) = L_i \cdot \int_P F(ω_i)dω_i L(ωo)=Li⋅∫PF(ωi)dωi，带入 ω i = M ω i ′ ∥ M ω i ′ ∥ ω_i = \frac{Mω_i'}{\Vert Mω_i'\Vert} ωi=∥Mωi′∥Mωi′及余弦变换，得到
L ( ω o ) = L i ⋅ ∫ P c o s ( ω i ′ ) d M ω i ′ ∥ M ω i ′ ∥ = L i ⋅ ∫ P c o s ( ω i ′ ) J d ω i ′ L(ω_o) = L_i \cdot \int_P cos(ω_i')d\frac{Mω_i'}{\Vert Mω_i'\Vert} = L_i \cdot \int_P cos(ω_i')Jdω_i' L(ωo)=Li⋅∫Pcos(ωi′)d∥Mωi′∥Mωi′=Li⋅∫Pcos(ωi′)Jdωi′
这里的J是Jacobi项，雅克比行列式，是换元后产生的系数（二重积分常用）。

上边换元的公式是有解析解的，可以解出BRDF。那具体是怎么转换到余弦空间呢？论文做了一个转换矩阵的预计算，更详细的内容可以看原论文Linear-Light Shading with Linearly Transformed Cosines-2019，或者知乎牛人的论文复现

tip:

由于LTC不考虑阴影，因此如果有物体挡住了这个面光源，就吃不消了
这工作是unity research的Eric Heitz大佬做的，得到业内广泛认可
各向异性的表面也能用LTC，因为不同方位角总能找到合适的变换矩阵，使拟合误差最小
LTC就是一种将变化BRDF 和变化光源的 shading问题，转化为固定BRDF 和变化光源问题的一种解决方案

二，迪士尼Disney Principled BRDF

微表面模型虽然很好但也存在一些问题：

不擅长表现真实材质（比如不加能量补偿项时的能量缺失），如清漆（clear coat）这种多层材质的表现
艺术家不友好，实际使用人–艺术家并不在乎物理准不准确

迪士尼原则的BRDF就是对艺术家友好的一种模型（虽然物理不正确但也被叫做PBR），他的参数更简单易懂直观好操控，分为了10个参数见图：

挑几个说下：

subsurface（次表面）：比diffuse更平的效果
specularTint（镜面反射颜色）：镜面反射的颜色（让步美术），0表示无色，1表示材质固有色，但边缘镜面反射都为无色
sheen（光泽度）：一种额外的绒毛掠射分量，主要用于天鹅绒等布料
sheenTint（光泽颜色）：控制sheen的颜色，0表示无色，1表示材质固有色
clearcoat（清漆强度）：第二个镜面波瓣，控制透明涂层的明显程度
clearcoatGloss（清漆光泽度）：控制透明涂层的光泽度，0表示磨砂，1表示光滑

tips：

参数越多越冗余、重复
虽然迪士尼BRDF不完全符合物理，但他模拟的就是能量守恒模型，如果不考虑误差也可以说是能量守恒的（学术界后期处理模拟、近似也很多，不用那么死板）
迪士尼BRDF不太适合实时渲染，如果用Disney那一整套算法都得改

三，NPR - Non-photorealistic rendering

NPR=(fast and reliable可靠的)stylization风格化（通过一些轻量级的处理）。一般思路是先绘制真实风格，再从中抽象、强调重要的部分，得到风格化的结果。

一些背景：学术界对 NPR 的研究不太活跃，相关的会议 NPAR 在 2017 年之后没有再举办

3.1 描边Outline

not just contours(外边缘)，包含Boundary edge（面的边缘）、Crease（折痕）、Material edge（不同材质边缘）、Silhouette edge（由多个面共享的外边缘）

1，shading 描边
可以使模型法线与视线方向越垂直的地方颜色越暗，再使用阈值、step等方式取用----但这样效果可能粗细不一致（左图）

2，Geometry 描边
也可以通过几何方法（类似把模型放大一圈，放在原模型背后），只扩大模型背对视角的面使背面模型大一圈，并用黑色渲染，然后再渲染正面（右图）。这个思路有很多优化方法，如扩大边、沿法线扩大、扩大后平滑角等。
3，Image 描边
图像后处理，如sobel算子等方式进行边缘检测（英雄联盟用）；除了在图像上处理，还可以在法线、深度图等删改进行处理。

3.2 色块

阈值化颜色，可以在shading过程中进行，也可以后处理时再阈值化。还可以进行更细化的操作如量化（Quantization）颜色。也可以diffuse、specular分开阈值化等等，操作很多。

3.3 素描Strokes Surface Stylization

什么是素描效果？—描边的同时，暗的地方有美术笔触

Tomal art maps(TAMs)方法：
1. 设计不同笔触的纹理，并为每个纹理制作mipmap（注意这里缩小的同时没有更密集）
2. 搜索适配—根据着色点的明暗及位置
tips：
1. npr是美术驱动的，实现是最简单的，是在翻译艺术家的想法
2. npr本质就在做if else，对不同风格、设计、材质甚至部位都要有不同的实现
3. npr做的好不好很大程度取决于其背后的“photorealistic真实风格”做的好不好，先真实才好抽象

参考资料

1，GAMES202高质量实时渲染-个人笔记：基于物理的实时渲染-风烟流年
2，《GAMES202：高质量实时渲染》4 实时高质量着色-zhiwei

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