Games 102

P2 数据拟合

拟合数据的好坏

分段线性插值函数 y = f 1 ( x ) y=f_1(x) y=f1(x)，数据误差为0，只有 C 0 C_0 C0连续。
光滑插值函数 y = f 2 ( x ) y=f_2(x) y=f2(x)，数据误差为0，可能被Noice带歪，导致函数性质不好，预测而不可靠
逼近拟合函数 y = f 3 ( x ) y=f_3(x) y=f3(x)，允许一定的误差

三部曲方法论

到那找：确定某个函数集合/空间
找那个：度量哪个函数是好的=确定loss
怎么找：求解或优化
- 如果转化为系数的方程组是欠定的(有无穷多解)，则修正模型：Lasso、岭回归、稀疏正则项

多项式插值定理

拉格朗日多项式
牛顿插值多项式
病态问题
- 数据微笑的变化可能会导致插值结果变化较大
函数相互抵消
- 单项式，从低次幂到高次幂占据的重要性优先级依次下降。
- 使用正交多项式基
结论
- 多项式插值不稳定
- 振荡现象：多项式随着插值点数的增加而摆动

多项式逼近

为什么做逼近
- 数据包含噪声
- 追求更紧凑的表达
- 计算简单、更稳定
最小二乘逼近
- a r g m i n f ∈ s p a n ( B ) ∑ j = 1 m ( f ( x j ) − y j ) 2 \underset{f\in span(B)}{argmin}\sum\limits_{j=1}^{m}(f(x_j)-y_j)^2 f∈span(B)argminj=1∑m(f(xj)−yj)2

函数空间及基函数

Bernstein多项式逼近
- 基函数： b n , j = C n j x j ( 1 − x ) n − j b_{n,j} = C_n^jx^j(1-x)^{n-j} bn,j=Cnjxj(1−x)n−j
优势
- 正性、权性(和为1)->凸包性
- 变差缩减性
- 递归线性求解方法
- 细分性

RBF函数插值/逼近

RBF函数的一维形式即为Gauss函数
- g μ , σ ( x ) = 1 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 g_{\mu,\sigma}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} gμ,σ(x)=2π 1e−2σ2(x−μ)2
RBF函数
- f ( x ) = b 0 + ∑ i = 1 n b i g i ( x ) f(x)=b_0+\sum\limits_{i=1}^n b_ig_i(x) f(x)=b0+i=1∑nbigi(x)

从另一个角度来看拟合函数

Gauss拟合函数
- 一般的Gauss函数表达为标准Gauss函数的形式
  - g μ , σ ( x ) = 1 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 = 1 2 π e − 1 2 ( x σ − μ σ ) 2 = g 0 , 1 ( a x + b ) g_{\mu,\sigma}(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x}{\sigma}-\frac{\mu}{\sigma})^2}=g_{0,1}(ax+b) gμ,σ(x)=2π 1e−2σ2(x−μ)2=2π 1e−21(σx−σμ)2=g0,1(ax+b)
  - a = 1 σ , b = μ σ a=\frac{1}{\sigma},b=\frac{\mu}{\sigma} a=σ1,b=σμ
  - 这样就可以同时优化 μ \mu μ和 σ \sigma σ
  - f ( x ) = b 0 + ∑ i = 1 n b i g i ( x ) f(x) = b_0+\sum_{i=1}^{n}b_ig_i(x) f(x)=b0+∑i=1nbigi(x)-> f ( x ) = w 0 + ∑ i = 1 n w i g 0 , 1 ( a i x + b i ) f(x)=w_0+\sum_{i=1}^nw_ig_{0,1}(a_ix+b_i) f(x)=w0+∑i=1nwig0,1(aix+bi)

P3 参数曲线拟合

多元函数

二元函数的基函数构造
- 张量积形式：即两个一元函数的基函数的相互乘积来定义
三次张量积多项式
多元函数的张量积定义
- 优点：定义简单，多个医院基函数的乘积形式
- 不足：随着维度增加，基函数个数急剧增加，导致变量急剧增加（求解系统大规模急剧增加，求解代价大）
多元函数的神经网络表达

向量值函数（多个应变量）

平面参数曲线、空间参数曲线、空间参数曲面，二维映射、三维映射，降维映射（一般有信息的丢失，且不可恢复）
有限元分析：就是对空间中的一个微元进行变形分析
一般映射
- f : R n − > R m f:R^n->R^m f:Rn−>Rm
- 如果 n < m n<m n<m，为低维映射到高维（高维的超曲面，n维流形曲面），本征维度为n（用n维参数就可以表示它）
- 如果 n > m n>m n>m，为降维映射，一般有信息损失，但如果 R n R^n Rn中的点集正好位于一个m维(或小于m)的流形上，则映射可能是无损可恢复的。

曲线拟合

输入：给定平面上的系列点 ( x i , y i ) , i = 1 , 2 , 3... , n (x_i,y_i),i=1,2,3...,n (xi,yi),i=1,2,3...,n
输出：一条参数曲线，拟合这些点为一条参数曲线
其中 p ( t ) = ( x ( t ) y ( t ) ) p(t)=\left(\frac{x(t)}{y(t)}\right) p(t)=(y(t)x(t))

P4 三次样条函数

样条

为什么要成为样条函数？
- 在之前没有计算机辅助几何设计的阶段，设计师们用样条来辅助画图。
样条与压铁
- 样条：具有一定弹性的软木条
- 压铁：比较重的铁块，用来固定样条所经过的点
自由曲线
- 没有数学表述，只知道它通过一些空间点列，这类没有数学表达式的曲面或曲线称为自由曲面/自由曲线

三次样条函数

样条曲线的数学表达推导
- 压铁：型值点；样条：插值型曲线
分段3次多项式的好处
- 2次多项式无法表达拐点，不够自由
- 高次多项式拐点多，容易出现较大误差
三次样条函数推导（方法1）
- 假设n+1个点，则有n条线段需要拟合，每条线段需要4个变量描述，则共有4n个未知量
- n+1个点在曲线上，可以提供n+1个方程
- 曲线在型值点处 C 0 , C 1 , C 2 C^0,C^1,C^2 C0,C1,C2连续，可以提供 3 n − 3 3n-3 3n−3个方程
- 再加上两个边界条件，一共4n个方程，4n个未知量
- 可以用追赶法求三弯矩方程组。
- 边界条件：
  - 自由端（指定曲线在两个端点处的二阶导数值为0）
  - 夹持端（指定曲线在两个端点处的一阶导数值）
  - 抛物端（指定首尾两端为抛物线）、周期端、混合边界条件
- 三弯矩方程组/三转角方程组
  - 三对角矩阵
  - 主对角占优
  - 有唯一解
  - 追赶法求解

三次基样条

三次样条曲线

样条函数的局限性
- 须有小扰度假定
- 不能处理多值问题
- 不能很好地表达空间曲线
- 不具有坐标不变性（几何不变性）
三次参数样条曲线

曲线的几何连续性

参数连续性
- 参数连续性的不足
  - 参数连续性过于严格，在几何设计中不太直观
几何连续性
- 几何连续性的具体形式

P5 Bezier曲线和B样条曲线

Bernstein基函数

n次bernstein基函数 B = { B 0 ( n ) , B 1 ( n ) , . . . , B n ( n ) } B=\{B_0^{(n)},B_1^{(n)},...,B_n^{(n)}\} B={B0(n),B1(n),...,Bn(n)}
- B i n ( t ) = C n i t i ( 1 − t ) n − i B_i^{n}(t)=C_n^it^i(1-t)^{n-i} Bin(t)=Cniti(1−t)n−i
example:
- 用Bernstein基函数所表达的曲线具有非常好的几何意义
- b i ( t ) b_i(t) bi(t)的特性决定了曲线的特性

Bezier曲线

Bezier曲线的性质来源于Bernstein基函数的性质（曲线是控制顶点的线性组合构成，基函数提供了组合系数）
n次Bezier曲线：n+1个控制点
- x ( t ) = ∑ i = 0 n B i n ( t ) ⋅ b i x(t)=\sum\limits_{i=0}^nB_i^n(t) \cdot b_i x(t)=i=0∑nBin(t)⋅bi

Bernstein基函数及Bezier曲线的性质

Bernstein基函数
- 对称性： B i ( n ) ( t ) = B n − i ( n ) ( 1 − t ) B_i^{(n)}(t)=B_{n-i}^{(n)}(1-t) Bi(n)(t)=Bn−i(n)(1−t)
- 最大值： B i ( n ) ( t ) B_i^{(n)}(t) Bi(n)(t)在 t = i n t=\frac{i}{n} t=ni达到最大值
- 正权性：
  - 正性： B i ( n ) ( t ) ≥ 0 , ∀ t ∈ [ 0 , 1 ] B^{(n)}_i(t)\geq 0,\forall t\in[0,1] Bi(n)(t)≥0,∀t∈[0,1]
  - 权性： ∑ i = 1 n B i ( n ) ( t ) = 1 , ∀ t ∈ [ 0 , 1 ] \sum_{i=1}^nB_i^{(n)}(t)=1,\forall t\in[0,1] ∑i=1nBi(n)(t)=1,∀t∈[0,1]
  - 可以由上两条性质推出Bezier曲线具有凸包性
- 基性
- 递推公式
- 端点插值性
- 导数
- 升阶
Bezier曲线的端点性质
- 端点插值
- 端点的切线方向与边相同
- 段殿德2阶 ( k ) (k) (k)切线与3点 ( k + 1 ) (k+1) (k+1)相关
De Casteljau algorithm算法
几何样条曲线
+

B样条曲线

Bezier曲线的不足
- 牵一发而动全身
样条曲线（分段的多项式曲线/Bezier曲线）
- 分段表达，具有局部性

P6 NUMBERS

有理曲线

Beizer曲线存在的问题：无法精确地表示圆形
- 原因：Bezier曲线是一种多项式函数

NURBS曲线

Non-Uniform Bational B-Spline 非均匀有理B样条
- 节点向量非均匀
影响NURBS曲线建模的因素
- 控制顶点：用户交互的手段
- 节点向量：决定了而B样条基函数
- 权系数：影响曲线的形状，生成圆锥曲线等

细分曲线

受Bezier曲线的de Casteljau作图法影响，可以通过不断“割角”构造曲线
细分方法的思想：
- 拓扑规则（splitting）：加入新点，组成新多边形
- 几何规则（averaging）：移动顶点，局部加权平均
Chaikin细分方法（逼近型：对所有顶点都移动）
- 拓扑规则：点分裂成边，老点被抛弃。新点老点重新编号
- 几何规则：新顶点是老顶点的线性组合
- 性质：极限曲线为二次均匀B样条曲线，节点处 C 1 C^1 C1，其余点处处 C ∞ C^{\infty} C∞
均匀3次B样条曲线细分方法
插值细分方法
- 保留原来的顶点，对每条边增加一个新顶点，不断迭代，生成一条曲线
- 一般：2n点插值细分方法
- 非线性细分方法（基于双圆弧插值的曲线细分方法）
  - 给定一条边,新点为插值其两端点及两端切向的双圆弧的一个连接点,也是其两端点两端切向的所确定三角形的内心.
  - 每个细分步骤后调整切向.

隐式曲线

隐式曲面：不会告诉你任何点的信息，只告诉你曲面上的点满足的关系，可以很快的判断给定的点在曲面上或曲面内侧/外侧
显式曲面：所有曲面的点直接被给出，或可以通过映射关系得到
常见的隐式曲面：代数曲面、CSG、SDF、水平集、分型几何
常见的显式曲面：点云、多边形网格、参数曲面

NURBS曲面

参数曲面
张量积
张量积曲面
Bezier曲面
Trimmed NURBS曲面（表达带“洞”或非矩形边界的曲面）
- 曲面上的曲线：使用参数域上的NURBS曲线来定义，然后复合得到曲面上的曲线。

P7 曲面光顺

曲线的微分几何

曲线的光顺定义

一条曲线是光顺的，如果
- 它是 C l + 1 ( l > 0 ) C^{l+1}(l>0) Cl+1(l>0)连续的;
- 它的曲线本身拐点较少；
- 它的曲率图的拐点较少；
- 它的曲率图变化的振幅相对小

曲线的光顺方法

小扰度假设：转角不大于60度
- 此时曲线满足条件:KaTeX parse error: Expected group after '^' at position 2: y^̲'{x}<<1且 y ′ ′ ( x ) ≈ k ( x ) y^{''}(x)\approx k(x) y′′(x)≈k(x)
方法
- C 1 C^1 C1连续
- 初光顺（定界法）：降低跳跃曲率的幅度。调整控制点位置，降低曲率的跳跃幅度，删除一些不必要的拐点
- 基本光顺（卡尺法）：减少第一个振动数 R R R。调整控制点位置，删除其他多余的转折点。
- 精光顺（回弹法）：减少第二个振动数 S S S。检查控制点的剪切力的方向，调整剪切力的变化数字。

离散曲线处理

为什么要离散
- 渲染的必要性、计算的必要性、制造的必要性
Nyquist-Shannon采样定理
- 如果一个函数x(t)不包含高于B赫兹的频率。它完全可以通过给出其在一系列的时间间隔为1/(2B)秒。
重心坐标（没有细讲，一带而过）

三角网格：曲面的离散表达

这部分没有做笔记，日常用的比较多

P9 微分坐标

3D网格曲面：二维流形曲面的离散

Local Structure
- 局部特征度量(small-sized cells)：1-邻域
  - 表示了模型表面局部的光顺程度
Laplace算子
- n维欧式空间的Laplace算子
  - Δ f = ∑ i = 1 n ϑ 2 f ϑ x i 2 \Delta f=\sum\limits_{i=1}^n\frac{\vartheta^2f}{\vartheta x_i^2} Δf=i=1∑nϑxi2ϑ2f
- 定义在黎曼流形上的椭圆形算子
- Differential Coordinates(微分坐标)
  - 离散形式的Laolacian算子
    - ϑ i = v i − ∑ j ∈ N ( i ) w j v j \vartheta_i=v_i-\sum\limits_{j \in N(i)}w_jv_j ϑi=vi−j∈N(i)∑wjvj
  - 常见的权重系数
    - 均衡权重： w j = 1 w_j=1 wj=1
    - cotangent权重： w j = ( cot ⁡ α + cot ⁡ β ) w_j=(\cot \alpha+\cot\beta) wj=(cotα+cotβ)
    - normlization： w j = w j ∑ j w j w_j=\frac{w_j}{\sum\limits_jw_j} wj=j∑wjwj

Local Laplacian Smoothing

P n e w ← P o l d + λ L ( P o l d ) P_{new}\leftarrow P_{old}+\lambda L(P_{old}) Pnew←Pold+λL(Pold)，其中 L L L是每个邻居点的平均向量， λ \lambda λ是原先的点沿方向移动多少倍
Discrete Mean Curvature Flow(离散平均曲率流)
- P n e w ← P o l d + λ H ( P o l d ) n ( P o l d ) P_{new}\leftarrow P_{old}+\lambda H(P_{old})n(P_{old}) Pnew←Pold+λH(Pold)n(Pold)
- 其中 H n Hn Hn为
使用平均离散曲率流能避免网格密度不均匀的曲面发生较大形变。

Global Laplacian Smoothing

曲面参数化

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Games 102

P2 数据拟合

拟合数据的好坏

三部曲方法论

多项式插值定理

多项式逼近

函数空间及基函数

RBF函数插值/逼近

从另一个角度来看拟合函数

P3 参数曲线拟合

多元函数

向量值函数（多个应变量）

曲线拟合

P4 三次样条函数

样条

三次样条函数

三次基样条

三次样条曲线

曲线的几何连续性

P5 Bezier曲线和B样条曲线

Bernstein基函数

Bezier曲线

Bernstein基函数及Bezier曲线的性质

B样条曲线

P6 NUMBERS

有理曲线

NURBS曲线

细分曲线

隐式曲线

NURBS曲面

P7 曲面光顺

曲线的微分几何

曲线的光顺定义

曲线的光顺方法

离散曲线处理

三角网格：曲面的离散表达

P9 微分坐标

3D网格曲面：二维流形曲面的离散

Local Laplacian Smoothing

Global Laplacian Smoothing

曲面参数化

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