文章目录

1. Transient and steady-state
2. Source free circuit →\rightarrow→ natural response
- 2.1 RL, RC
- - 2.1.1 RL circuit
  - 2.1.2 RC circuit
- 2.2 Initial condition
- 2.3 Summary
3. Driven circuit - Circuit with source →\rightarrow→ forced response
- 3.1 Solving the first order differential equation
- 3.2 RL, RC
- 3.3 Complete response

一阶电路是简化后只含有一个电容或电感元件的电路，而在这些电路中，常常会需要分析开关断连前后的情况，这就需要对电路做瞬态分析

在阅读本文之前，觉得需要回顾电容，电感性质的，可以看看之前写的电磁元件，这里主要用到两个相关公式：

电容器所在电路的电流 i=Cdvdti=C\frac{dv}{dt}i=Cdtdv
电感两端的电压 v=Ldidtv=L\frac{di}{dt}v=Ldtdi

我们还会用到一些表示方法，大写的字母Vs,ISV_s, I_SVs,IS表示的是源的参数，它们不因时间改变而改变
小写的v(t),i(t),p(t)v(t), i(t), p(t)v(t),i(t),p(t)与时间相关，是时间的函数

1. Transient and steady-state

在电路通断前后，电容器的电压变化看起来似乎是一瞬间的事，然而根据公式i=Cdvdti=C\frac{dv}{dt}i=Cdtdv，如果电压真的是瞬间变化的，那么电流会趋于无限大，这在现实中并不成立。因此电压的变化一定是连续的，这个在极短时间内变化的量就被称为瞬态(Transient)

一段时间之后，电容器充能完毕，它就会表现出断路的性质，这时的电路状态被称为稳态(steady-state)

同理，电感电路也存在瞬态和稳态

在对电路进行分析时，我们常常将其按时间划分为四个阶段：

t < 0，此时是电路的起始状态，处于稳态
t = 0，此时电路变化，瞬态发生，这一瞬间我们还会提取出两个值t(0⁺)和t(0^-)，t(0^-)是起始稳态的最终值，t(0⁺)是电路变化后的第一个值，在微分中用作起始值（Initial condition）
t = A，此时电路又一次达到稳态，因此，瞬态发生在0 < t < A这段时间内，而t > A时电路处于稳态

2. Source free circuit →\rightarrow→ natural response

有时，在电路变化后，外部电源不再存在，此时的电路是无源电路(source free circuit)，能量皆由内部的电感或电容供应，一切自然发生而不受外力驱动，此时的响应也被称为自然响应(natural response)

2.1 RL, RC

2.1.1 RL circuit

下图是无源RL电路图，可以看到，电路中没有电源，电流由电感提供

假设t = 0时，iL(0)=I0i_L(0)=I_0iL(0)=I0
对电路应用KVL:
RiL+vL=0Ri_L+v_L=0RiL+vL=0
应用通过电感的电流公式，可以得到：
RiL+LdiLdt=0Ri_L+L\frac{di_L}{dt}=0RiL+LdtdiL=0
找到iL(t)i_L(t)iL(t)的表达式，使其满足上式，且在t=0t=0t=0时的值为I0I_0I0
最终解出的表达式为:
iL(t)=I0e−RtL=I0e−tτi_L(t)=I_0e^{\frac{-Rt}{L}}=I_0e^{\frac{-t}{\tau}}iL(t)=I0eL−Rt=I0eτ−t
其中τ=L/R\tau=L/Rτ=L/R时是RL电路的时间常量，R是从电感视角看去的总电阻

经过 τ\tauτ 时间，电感提供的电流 iii 会降到初始电流 I0I_0I0 的3.6788%，这一数字需要记忆
一般在经过 5τ5\tau5τ 后，电感能量视为释放完毕

我们还可以从能量的角度看，电路中电阻的功率为：
pR=i2Rp_R=i^2RpR=i2R
代入电感的电流公式
pR=I02Re−2Rt/Lp_R={I_0}^2Re^{-2Rt/L}pR=I02Re−2Rt/L
功率对时间积分可以得到做功，积分范围为0→∞0\rightarrow\infty0→∞最终得出结果为
12LI02\frac{1}{2}L{I_0}^221LI02
这个结果电感初始存储的能量表达式相同，这意味着电感的能量被电阻掏空了

2.1.2 RC circuit

对无源RC电路的分析与RL基本一致，不过应用的定律从KVL变成了KCL

可以看到，在t = 0时，形成了一个无源RC电路
分析时，我们首先假设电容器电压vc(t)v_c(t)vc(t)在t=0t = 0t=0时的电压为 V0V_0V0
接着，应用KCL，我们可以得到：
iC+iR=Cdvcdt+vcR=0i_C+i_R=C\frac{dv_c}{dt}+\frac{v_c}{R}=0iC+iR=Cdtdvc+Rvc=0
解方程，得到电容器电压随时间变化的表达式为
vc(t)=V0e−t/RC=V0e−t/τv_c(t)=V_0e^{-t/RC}=V_0e^{-t/\tau}vc(t)=V0e−t/RC=V0e−t/τ
τ=RC\tau=RCτ=RC 是RC电路的时间常量
同样的，我们通常认为电容器在 5τ5\tau5τ 之后放电完毕

2.2 Initial condition

这里提到的Initial condition指的是电路改变后瞬间的状态，而非整个电路改变之前的状态

电路分析时，有这样一些要点需要牢记

注意通过电感的电流方向和电容器的极性
电容器电压和电感电流都不会瞬间变化，因此vc(0+)=vc(0−),iL(0+)=iL(0−)v_c(0^+)=v_c(0^-), i_L(0^+)=i_L(0^-)vc(0+)=vc(0−),iL(0+)=iL(0−)
在寻找变化后的初始值时，先关注上述两个不会突然改变的值

2.3 Summary

电容器电压和电感电流随时间变化的关系可以被总结如下：
x(t)=x0e−t/τx(t)=x_0e^{-t/\tau}x(t)=x0e−t/τ
其中x(t)x(t)x(t)对于电容来说是电压，对于电感来说是电流
其中x0x_0x0是电容的初始电压，是电感的初始电流
RL电路：τ=L/R\tau=L/Rτ=L/R
RC电路：τ=RC\tau=RCτ=RC

3. Driven circuit - Circuit with source →\rightarrow→ forced response

在source free circuit中，我们主要讨论了源被突然移出电路的情况，现在，我们来讨论源被突然加进电路的情况，其中，我们会用到函数(step function)来描述电路，这一函数在《我们身边的信号》中介绍过，这里的用法差不多，比如vs(t)=Vsu(t)v_s(t)=V_su(t)vs(t)=Vsu(t)，就表示t > 0时接入电源

3.1 Solving the first order differential equation

当RC电路中突然接入一个直流源，它可以通过阶梯函数建模，而它引起的响应被称为阶跃响应(step response)

如图是一个Driven RC 电路

应用KCL，可以得到：
Cdvcdt+vc−Vsu(t)R=0C\frac{dv_c}{dt}+\frac{v_c-V_su(t)}{R}=0Cdtdvc+Rvc−Vsu(t)=0
Vsu(t)V_su(t)Vsu(t)是电源电压随时间的表达式，进一步计算：
dvcdt+vcRC=VsRCu(t)=VsRCfort>0\frac{dv_c}{dt}+\frac{v_c}{RC}=\frac{V_s}{RC}u(t)=\frac{V_s}{RC}\ \ for\ t>0dtdvc+RCvc=RCVsu(t)=RCVs for t>0
对RL电路做类似的分析，可以总结如下公式：

其中x(t)是未知表达式，f(t)是驱动函数(forcing function
这一套东西看起来很复杂，而且不好应用，所以接下来我们给出一个好应用的
将f(t)f(t)f(t)设为XfX_fXf,经过一系列非常巧妙但对我们来说不是很重要的数学计算，可以得到：
x(t)=Xf+[x(0)−Xf]e−t/τx(t)=X_f+[x(0)-X_f]e^{-t/\tau}x(t)=Xf+[x(0)−Xf]e−t/τ

3.2 RL, RC

将上面得到的表达式分别应用在RC和RL电路中
对于RC

x(t)x(t)x(t)是电容器上的电压vc(t)v_c(t)vc(t)
x(0)x(0)x(0)是电容器在t = 0时的初始电压
XfX_fXf是外部电压源VsV_sVs
时间常量τ=RC\tau=RCτ=RC

对于RL

x(t)x(t)x(t)是电感上的电流iL(t)i_L(t)iL(t)
x(0)x(0)x(0)是电感在t = 0时的初始电流
XfX_fXf是外部电流源IsI_sIs
时间常量τ=L/R\tau=L/Rτ=L/R

对于上面的表达式，其实还有一种比较简单的理解方式，即：
x(t)=x(∞)+[x(0)−x(∞)]e−t/τx(t)=x(\infty)+[x(0)-x(\infty)]e^{-t/\tau}x(t)=x(∞)+[x(0)−x(∞)]e−t/τ
其中x(0)x(0)x(0)是起始值，x(∞)x(\infty)x(∞)是最终值，这个值对于电容器是电压，对于电感是电流
因此，寻找电容电压或电感电流表达式时，只需要获得三个输入：

起始电容电压/电感电流
最终电容电压/电感电流
时间常量

这也是做题时的主要思路

3.3 Complete response

上述公式表达的响应实际上是一个完整响应(Complete response)，传统上我们有两种办法分解完整响应

第一种是将其分解为自然响应和强制响应
第二种是将其分解为瞬态响应和稳态响应

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