hdu 5411 2015多校十1006 ~矩阵快速幂

题意：

给定n个碎片的转移关系，问最多使用m个碎片组成的不同的序列个数是多少。

思路：

容易想到dp的方法，以dp[i][j]表示长度为i以j号碎片结尾的不同序列的数量。那么dp[i + 1][k] += dp[i][j](j -> k 可以转移)dp[0][0] = 1;最后的答案即为整个dp[i][j]数组所有元素的和。但是一算复杂度，超时。
于是乎想到矩阵，关系矩阵A的k次方可以求出任意长度为k+1的序列总的数量。但是这道题要求最多长度为m的总数量，也就是说要求A^0 + A^1 + A^2… + A^m - 1。如果分别用快速幂，算一算复杂度依旧超时。然后就发现了构造矩阵的神奇方法。构造的矩阵B如下：
A . . . A 1
A . . . A 1
. .. . …. A 1
. . . . A 1
A . . . A 1
0 . . . 0 1
也就是在原来的转移矩阵最右边加上一列1，用于保存上一步以及之前的总的答案，
最后的答案为矩阵B^(m-1) 的所有项的和。时间复杂度O（n^3 *log(m)）,注意特判m = 1（论构造矩阵的神奇）

附搓代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int piece = 55;
int ch[piece][piece];
int ans[piece][piece];
int tp[piece][piece];
int n, m;
void cal(int a[][piece], int b[][piece], int c[][piece])
{for(int i = 1; i <= n + 1; i++)for(int j = 1; j <= n + 1; j++){int tmp = 0;for(int k = 1; k <= n + 1; k++)tmp = (tmp + a[i][k] * b[k][j]) % 2015;tp[i][j] = tmp;}memcpy(c, tp, sizeof(tp));
}
void rapid(int a[][piece], int k, int b[][piece])
{for(int i = 1; i <= n + 1; i++) b[i][i] = 1;while(k){if(k & 1)cal(b, a, b);k >>= 1;cal(a, a, a);}
}
int main()
{// freopen("5411.in","r",stdin);// freopen("5411out.txt","w",stdout);int t;scanf("%d", &t);while(t--){scanf("%d%d", &n, &m);memset(ch, 0, sizeof(ch));for(int i = 1; i <= n; i++){int k;scanf("%d", &k);for(int j = 0; j < k; j++){int tmp;scanf("%d", &tmp);ch[i][tmp] = 1;}}if(m == 1)printf("%d\n", n + 1);else{memset(ans, 0, sizeof(ans));for(int i = 1; i <= n + 1; i ++)ch[i][n + 1] = 1;for(int i = 1 ; i <= n; i++)ch[n + 1][i] = 0;rapid(ch, m - 1, ans);int ls = 0;for(int i = 1; i <= n + 1; i++)for(int j = 1; j <= n + 1; j++)ls = (ls + ans[i][j]) % 2015;printf("%d\n", ls);}}
}

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