也谈1+2+3+...+n的解答

据说某个公司有道笔试题是这样的：

求1+2+3+...+n，编程实现，但是不允许用if,while,for,?等语句，也不能用乘除法。当然肯定也不允许用pow这样的函数了。

我们都知道，1+2+3+...+n=n*(n+1)/2=(n*n+n)/2,一个数除以2，等于右移1位。比如4（二进制为100），右移1位则为2（二进制为10）。由于不能用乘除法，所以需要将n*n转换为加减法了。

回忆一下乘法的竖式计算方法，假设101×101，如下图所示：

1 0 1

———

1 0 1

0 0 0

1 0 1

------------------

1 0 2 0 1

则其计算过程就是一个乘数的每位与另一个乘数分别相乘，然后移位相加。所以n*n也可以转换成类似的方式来处理。假设n为32位整数，n*n也为32位整数，则n*n就是两个32位二进制数相乘。其实就是32个数相加，由上面的公式也可以看出来。

二进制乘法反而更简单，就如上图所示的一样，每位要么是0，要么是1，如果是0，则不用相加了，如果是1，则结果就需要加。具体做法就是n的每一位都跟n相乘，当然是要向前移一位，然后相加。

具体c++代码实现为：

int sum(int n)
{int result = n;((n>>1) & 1) && (result += (n<<1));((n>>2) & 1) && (result += (n<<2));
...((n>>31) & 1) && (result += (n<<31));return result >> 1;
}

需要说明的是&&符号，这里用到了编译器的优化功能，如果&&前面的表达式为false，则右边的表达式就不会执行。所以当某位为0的时候，就不需要相加了。

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