整数划分递归相关问题

算法设计----整数划分递归相关问题

一.原问题

整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：

假设整数n,能被划分为i段n=a1+a2+...ai，其中ak为n中划分的最大整数（1<=ak<=n，1<=k<=i）,则{a1,a2...ai}是n的ak的一个划分

当n=6时我们可以获得以下这几种划分

一共有11种

分析：讨论整数n和划分的最大整数m的关系，可以分为以下几种情况：

①当整数n==1,只有一种划分，即{1}

②当划分的最大整数m==1时，只有一种划分，即{1，1......1}

③当n<m时，整数n可以划分的最大的数为n,即f(n,n)种划分

④当n==m时，根据需不需要划分最大整数m,可以分为两种情况：

a:需要划分最大整数为m,只有一种划分，即{m}

b:不需要划分最大整数为m,即可能划分的最大整数为m-1，即有f(n,m-1)种划分

⑤当n>m时，根据需不需要划分最大整数m,可以分为两种情况：

a:需要划分最大整数为m,所以继续在n-m中划分，划分的最大整数还可能为m，所以有f(n-m,m)种划分

b:不需要划分最大整数为m，所以划分的最大整数可能为m-1,即有f(n,m-1)种划分

综上所述的转移状态方程：

1 当 n==1或 m==1时

f（n，m）= f(n,n) 当n<m时

1+f(n,m-1) 当n==m时

f(n-m,m)+f(n,m-1) 当n>m时

python源代码：


#整数划分问题
#假设整数n,能被划分为i段n=a1+a2+...ai，其中ak为n中划分的最大整数（ak<=n，k<=i）,其中{a1,a2...ai}是n的ak的一次划分
#现在求整数n能够划分成多少种
def huafen(n,m):  #n为整数，m为划分的最大整数，m<=nif(n==1 or m==1):return 1elif n==m:return 1+huafen(n,m-1) elif(n<m):return huafen(n,n)else:return huafen(n,m-1)+huafen(n-m,m)a=[]
t=0
def digui(sum,k,m,l):global aglobal tif(sum>l):returnelif(sum==l):t+=1print("第",t,"种：")for x in range(len(a)-1):print(str(a[x])+"+",end="")print(a[-1])else:c=range(m)for y in reversed(c):y+=1sum+=y   a.append(y)    #加入到a列表中digui(sum,k+1,y,l)  #递归调用a.pop()   #出列表，恢复现场，回溯sum-=y  #恢复现场，回溯def main():print("请输入一个整数：")v=int(input())p=huafen(v,v)print("该整数的划分一共有"+str(p)+"种")print("所有的划分如下：")digui(0,0,v,v)main()

运行结果如下：

二.变形1

如果限制每一个划分的整数不能一样，即划分的每一个整数不同，则又有多少种划分呢？

其实我们只需在原问题进行修改即可：

①当m==1时，我们需要设置{1，1，1，....1}为0种

②当n>m时，我们需要修改的是当需要选取最大整数m时，我们将最大值m-1,即f(n-m,m-1) 种

其余的不需要修改

pythoon源码：

#整数划分变形问题
def huafen(n,m):  #n为整数，m为划分的最大整数，m<=nif(n==1):return 1elif(m==1):   #当m==1时，设置1，1，1.....1}为0种return 0elif n==m:return 1+huafen(n,m-1)elif(n<m):return huafen(n,n)else:return huafen(n,m-1)+huafen(n-m,m-1)   #使下次划分的整数小于上次的划分的最大整数a=[]
t=0
def digui(sum,k,m,l):global aglobal tif(sum>l):returnelif(sum==l):t+=1print("第",t,"种：")for x in range(len(a)-1):print(str(a[x])+"+",end="")print(a[-1])else:c=range(m)for y in reversed(c):y+=1sum+=ya.append(y)digui(sum,k+1,y-1,l)   #这里需要将下一次的最大划分整数修改为上一次划分最大整数-1，不能与上一次相同a.pop()sum-=ydef main():print("请输入一个整数：")v=int(input())p=huafen(v,v)print("该整数的划分一共有"+str(p)+"种")print("所有的划分如下：")digui(0,0,v,v)
main()

运行结果如下：

三.变形2

如果限制每次划分的整数的个数，则又有多少种划分呢？（类似与盘子分苹果问题）

（其中n为整数，每次划分只能划分为m个数）

分析：①当m==1时，只有一种划分，即{n}

②当n<m时，由于划分的整数不可能为负数和小数，则划分不尽，所以为0

③当n==m时，也是只有一种划分。即{1，1，1，1...1}

④当n>m时，根据划分的整数中是否包含1，可以分为两种情况：

a:划分的整数中至少有一个1，则在n-1中继续划分为m-1份，即f(n-1,m-1)种划分

b:划分的整数中没有1，所以m个部分划分的整数必须都大于1，所以先给m个部分设为1，接着将剩余的n-m整数对m个部分分别加数，即要保证m个部分均大于1，即n-m>=m,则总共有f(n-m,m)种;如果n-m<m,则f(n-m,m)为0，所以条件②不能省略

综上所述方程：

1 当m==1 或者 n==m 时

f( n,m) = 0 当m>n时

f（n-1,m-1）+f(n-m,m) 当n>m时

python源代码：

#整数划分变形问题
def huafen(n,m):  #n为整数，m为每次划分的整数个数if(m==1 or n==m):return 1elif(m>n):   #当m>n时return 0else:return huafen(n-1,m-1)+huafen(n-m,m)   #选取至少有一个1和不选取1的种数
a=[]
t=0
def digui(sum,k,m,l,q):global aglobal tif(sum>l):returnelif(k==q and sum==l):t+=1print("第",t,"种：")for x in range(len(a)-1):print(str(a[x])+"+",end="")print(a[-1])else:c=range(m)for y in reversed(c):y+=1sum+=ya.append(y)digui(sum,k+1,y,l,q)   a.pop()sum-=ydef main():v,g=map(int,input("请输入两个以空格隔开的数：").split())  #整数v,和每次划分的整数个数gp=huafen(v,g)  print("该整数的划分一共有"+str(p)+"种")print("所有的划分如下：")digui(0,0,v,v,g)
main()

运行结果如下：

三.变形3

如果n划分成若干个奇正整数之和 ,则这样有多少种划分？

（f(n,m)代表有多少种划分，其中n为整数，m为不大于n的最大整数的划分）

分析：①当m==1时，只有一种划分，即{1，1,...1}

②当m为奇数时：根据m和n的关系可以分成三种情况

a.当n<m时，则有f(n,n)种划分

b.当n==m时，根据是否选取最大整数m，可以分成两种情况

*选取最大奇整数m,则只有一种划分，即{m}

*不选取最大奇整数m,则共有f(n,m-2)种划分

c.当n>m时，根据是否选取最大整数m，可以分成两种情况

*选取最大奇整数m,则共有f(n-m,m)种划分

*不选取最大奇整数m,则共有f(n,m-2)种划分

③当m为偶数时：根据m和n的关系可以分成三种情况：

a.当n<m时，可以分成两类:（m为偶数，则m-1为最大奇数）

*当n<m-1时，则共有f(n,n)种划分

*当n==m-1时，则共有f（n，m-1）种划分

b.当n==m时，则共有f(n,m-1)种划分

c.当n>m时，根据是否选取最大奇整数m-1，可以分成两种情况

*选取最大奇整数m-1,则共有f(n-m+1,m-1)种划分

*不选取最大奇整数m-1,则共有f(n,m-3)种划分

python源代码：

def huafen(n,m):  #n为整数，huafen(n,m)代表：m为划分的最大整数共有多少种，m<=nif(m==1):  #若m==1return 1elif (m%2):  #若m为奇数if(n<m):  #n<mreturn huafen(n,n)elif(n==m):   #是否选取最大奇整数mreturn 1+huafen(n,m-2)else:    #是否选取最大奇整数mreturn huafen(n-m,m)+huafen(n,m-2)else:  #若m为偶数if(n<m):if(n<m-1):return huafen(n,n)else:return huafen(n,m-1)elif(n==m):return huafen(n,m-1)else:   #是否选取最大奇整数m-1return huafen(n-m+1,m-1)+huafen(n,m-3)
a=[]
t=0
def digui(sum,k,m,l):global aglobal tif(sum>l):returnelif(sum==l):flg=1for x in a:   #在原问题答案的基础下，挑选出整数全部都是偶数的列表if(x%2==0):flg=-1breakif(flg==1):t+=1print("第",t,"种：")for x in range(len(a)-1):print(str(a[x])+"+",end="")print(a[-1])else:c=range(m)for y in reversed(c):y+=1sum+=ya.append(y)digui(sum,k+1,y,l)a.pop()sum-=ydef main():print("请输入一个整数：")v=int(input())p=huafen(v,v)print("该整数的划分一共有"+str(p)+"种")print("所有的划分如下：")digui(0,0,v,v)
main()

运行结果如下：