NYOJ90 整数划分(经典递归和dp)
整数划分
- 描述
-
将正整数n表示成一系列正整数之和:n=n1+n2+…+nk,
其中n1≥n2≥…≥nk≥1,k≥1。
正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不
同划分个数。
例如正整数6有如下11种不同的划分:
6;
5+1;
4+2,4+1+1;
3+3,3+2+1,3+1+1+1;
2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;
1+1+1+1+1+1。- 输入
- 第一行是测试数据的数目M(1<=M<=10)。以下每行均包含一个整数n(1<=n<=10)。
- 输出
- 输出每组测试数据有多少种分法。
- 样例输入
-
1 6
- 样例输出
-
11
- 来源
- [苗栋栋]原创
思路:
递归法:
整数划分问题是算法中的一个经典命题之一,有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分,是指把一个正整数n写成如下形式:
n=m1+m2+...+mi; (其中mi为正整数,并且1 <= mi <= n),则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。
如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m,即max(m1,m2,...,mi)<=m,则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);
例如但n=4时,他有5个划分,{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};
注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。
该问题是求出n的所有划分个数,即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法;
根据n和m的关系,考虑以下几种情况:
(1)当 n = 1 时,不论m的值为多少(m > 0 ),只有一种划分即 { 1 };
(2) 当 m = 1 时,不论n的值为多少,只有一种划分即 n 个 1,{ 1, 1, 1, ..., 1 };
(3) 当 n = m 时,根据划分中是否包含 n,可以分为两种情况:
(a). 划分中包含n的情况,只有一个即 { n };
(b). 划分中不包含n的情况,这时划分中最大的数字也一定比 n 小,即 n 的所有 ( n - 1 ) 划分。
因此 f(n, n) = 1 + f(n, n-1);
(4) 当 n < m 时,由于划分中不可能出现负数,因此就相当于 f(n, n);
(5) 但 n > m 时,根据划分中是否包含最大值 m,可以分为两种情况:
(a). 划分中包含 m 的情况,即 { m, { x1, x2, ..., xi } }, 其中 { x1, x2, ..., xi } 的和为 n - m,可能再次出现 m,因此是(n - m)的 m 划分,因此这种划分
个数为 f(n-m, m);
(b). 划分中不包含 m 的情况,则划分中所有值都比 m 小,即 n 的 ( m - 1 ) 划分,个数为 f(n, m - 1);
因此 f(n, m) = f(n - m, m) + f(n, m - 1);
综合以上情况,我们可以看出,上面的结论具有递归定义特征,其中(1)和(2)属于回归条件,(3)和(4)属于特殊情况,将会转换为情况(5)。而情况(5)为通用情况,属于递推的方法,其本质主要是通过减小m以达到回归条件,从而解决问题。其递推表达式如下:
f(n, m) = 1; ( n = 1 or m = 1 )
f(n, n); ( n < m )
1+ f(n, m - 1); ( n = m )
f(n - m, m) + f(n, m - 1); ( n > m )
以上讲解来自于:http://www.cnblogs.com/hoodlum1980/archive/2008/10/11/1308493.html
看了这个,代码就很简单了
动态规划法:
数组dp[N][M]表示N为被划分数,M为划分数的最大值,此题M==N,故即求dp[N][N];
1>状态转移方程:
dp[N][M]=dp[N][M-1]+dp[N-M][M];
该怎样理解呢?这里分两步:
Step 1:所划分的最大数不包括M,即每个划分数都是小于M的,此时总数为dp[N][M-1].
Step 2:所划分的最大数包括M,那么这一步被划分数就应该减去一个M,此时总数为dp[N-M][M].
到这里就是完整的思路了,应该注意的是上面的划分,划分数里有重复的数,那么如果要求划分数没有重复的呢,该怎样求呢?
这里的状态转移方程和上面就有点细微区别了.先来看看方程:
2>dp[N][M]=dp[N][M-1]+dp[N-M][M-1];
其实联系1中的步骤就不难理解了,同样分为两步:
Step 1:所划分的最大数不包括M,即每个划分数都是小于M的,此时总数也是dp[N][M-1].
Step 2:所划分的最大数包括M,那么划分就的相应的减去M,注意到不能重复,即M划分数出现的次数只能为1.所以M就得换成M-1了,即dp[N-M][M-1].
3>在拓展一下,要是划分的个数为确定的数呢?即dp[N][K].表示N被划分成K个数.
这时状态转移方程就为
dp[N][K]=dp[N-K][K]+dp[N-1][K-1].
应该这样理解:
Step 1:被划分的K个数中不包括1,那么就应该先自动的为其分配1,K个数共N-K,剩下的数自由分配,总能保证其值大于2,即dp[N-K][K].
Step 2:存在一个数为1的情况,此时剩下的N-1分给K-1个数,即dp[N-1][K-1].
来源:http://www.cnblogs.com/xl1027515989/p/3603533.html
代码1(递归):
#include <cstdio> #include <cstring> #include <string> #include <set> #include <iostream> #include <cmath> #include <stack> #include <queue> #include <vector> #include <algorithm> #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) #define inf 0x3f3f3f3f #define mod 10000007 #define debug() puts("what the fuck!!!") #define ll long long using namespace std; int f(int n,int m)//f(n,m)定义的是n的m划分,m是能组成n的数中的最大值 {if(n==1||m==1) return 1;if(n==m) return f(n,n-1)+1;if(n<m) return f(n,n);if(n>m) return f(n-m,m)+f(n,m-1); } int main() {int t,n;scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%d",&n);printf("%d\n",f(n,n));}return 0; }
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代码2(DP):
#include <cstdio> #include <cstring> #include <string> #include <set> #include <iostream> #include <cmath> #include <stack> #include <queue> #include <vector> #include <algorithm> #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) #define inf 0x3f3f3f3f #define mod 10000007 #define debug() puts("what the fuck!!!") #define ll long long using namespace std; int dp[15][15];//dp[n][m],n为被划分数,m为划分数中的最大值 int main() {int t,n;scanf("%d",&t);while(t--){mem(dp,0);scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(i==j)dp[i][j]=dp[i][j-1]+1;else if(i<j)dp[i][j]=dp[i][i];else if(i>j)dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1];}}printf("%d\n",dp[n][n]);}return 0; }
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转载于:https://www.cnblogs.com/Roni-i/p/8614919.html
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