线性系统稳定性分析的MATLAB分析方法

MATLAB设计

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线性系统稳定性分析的MATLAB分析方法

电气工程学院

班级：10自动化3班

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线性系统稳定性分析的MATLAB分析方法

摘要：

稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的干扰，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等等。如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因而，如何分析系统的稳定性并提出系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。由于MATLAB拥有丰富的数据类型和结构、友善的面向对象、快速精美的图形可视、更广泛的数学和数据分析资源控制系统工具箱的应用开发工具。所以应用MATLAB来分析系统的稳定性将给系统稳定性的分析带来很大的便利。

关键词：自动控制理论、线性系统、稳定性、MATLAB

引言：

本次作业是运用MATLAB来分析线性系统的稳定性，是对MATLAB加深理解和运用的一个重要环节。本次作业以自动控制基础中线性系统稳定性的如何分析来开展。通过自动控制中分析线性系统稳定性的原理与方法，以MATLAB为分析工具完成这次作业。

1.自动控制技术介绍

在现代科学技术的众多领域中，自动控制技术起着越来越重要的作用。所谓自动控制，就是指没有人直接参与的情况下，利用外加的设备或装置(称控制装置或控制器)，使机器、设备或生产过程(统称被控对象)的某个工作状态或参数(被控量)自动地按照预定的规律运行。

1.1稳定性的基本概念

任何系统在扰动作用下都会偏离原平衡状态，产生初始偏差。所谓稳定性，是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。

根据李雅普诺夫稳定性理论，线性系统的稳定性可叙述为：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零(原平衡工作点)，则称系统渐近稳定，简称稳定；反之，若在初始扰动影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。

1.2线性系统稳定的充分必要条件

线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性，而与外界条件无关。通过理论分析得到线性系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均位于左半s平面。

2.线性系统稳定性的判定

线性系统稳定性的判定主要依据线性系统稳定的充分必要条件。判定其稳定性，可以用代数法、根轨迹法、波特图法和奈奎斯特法。

2.1代数法

代数法是通过求出闭环系统特征方程的全部特征根，若所有特征根均含有负实部，则系统是稳定的；否则，只要有一个特征根的实部为正数，则系统不稳定。

例如：已知系统的开环传递函数为：

试判别系统闭环的稳定性。

MATLAB文本如下：

>> den=[2 9 23 13 3];

>> roots(den)

运行结果为：

ans =

-1.9170 + 2.2585i

-1.9170 - 2.2585i

-0.3330 + 0.2450i

-0.3330 - 0.2450i

分析：从运行结果可知，该系统的闭环特征根方程的所有的根的实部均为负实数，所以该系统是稳定的。

2.2根轨迹法判断系统稳定性

根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。当开环增益从零变到无穷时，根轨迹的不越过虚轴进入右半s平面时，系统对所有的k值都是稳定的；当根轨迹越过虚轴进入右半s平面，此时根轨迹与虚轴交点处的k值就是临界开环增益。

例如：已知单位负反馈系统的开环传递函数为：

G(s)H(s)=

MATLAB文本如下：

G=tf([1 3],[1 2 2 0]);

rlocus(G)

运行结果为：

分析：从图上可知当k从零变化到无穷时根轨迹穿越虚轴进入了右半s平面，与虚轴交点为(-0.00046,2.46),增益k为4.05，所以，使系统稳定的k值范围为0k4.05。

2.3奈奎斯特图法判断系统稳定性

奈奎斯特稳定的判据 反馈控制系统稳定的充分必要条件是半闭合曲线不穿过(-1，j0)点且逆时针包围临界点(-1，j0)点的圈数R等于开环传递函数的正实部极点数。

例：单位负反馈系统的开环传递函数为：

G(s)H(s)=

MATLAB文本如下：

G=tf([1 2],[1 6 13 9