亥姆霍兹方程（Helmholtz equation)
- Helmholtz方程推导
表面等离极化激元（surface plasmon polaritons）
- 单界面spps色散关系推导
- 单界面spps色散关系讨论

亥姆霍兹方程（Helmholtz equation)

考虑真空中波动方程，
(∇2−1c2∂2∂t2)u(r,t)=0\left(\nabla^{2}-\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}\right) u(\mathbf{r}, t)=0(∇2−c21∂t2∂2)u(r,t)=0通过分离变量法可得，u(r,t)=A(r)T(t)u(\mathbf{r},t)=A(\mathbf{r})T(t)u(r,t)=A(r)T(t)，其中A(r)A(\mathbf{r})A(r)为空间项，T(t)T(t)T(t)为时间项。
波动方程的解u(r,t)=A(r)T(t)u(\mathbf{r},t)=A(\mathbf{r})T(t)u(r,t)=A(r)T(t)中的空间项A(r)A(\mathbf{r})A(r)满足Helmholtz方程，即(∇2+k2)A=0\left(\nabla^{2}+k^{2}\right) A=0(∇2+k2)A=0。

Helmholtz方程推导

通过分离变量法可得方程：∇2AA=1c2Td2Tdt2\frac{\nabla^{2} A}{A}=\frac{1}{c^{2} T} \frac{d^{2} T}{d t^{2}}A∇2A=c2T1dt2d2T左侧是关于空间项A(r)A(\mathbf{r})A(r)方程，而右侧是关于时间项T(t)T(t)T(t)方程，因此这两个方程都等于常数，左侧方程代入平面波解u(r,t)=u~0ei(k⋅r−wt)u(\mathbf{r},t)=\widetilde{u}_0e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-wt)}u(r,t)=u0ei(k⋅r−wt)可得∇2AA=−k2\frac{\nabla^{2} A}{A}=-k^{2}A∇2A=−k2即1c2Td2Tdt2=−k2\frac{1}{c^{2} T} \frac{d^{2} T}{d t^{2}}=-k^{2}c2T1dt2d2T=−k2将该式代入波动方程就可得到空间项A(r)A(\mathbf{r})A(r)满足的Helmholtz方程∇2A+k2A=(∇2+k2)A=0.\nabla^{2} A+k^{2} A= \boxed{\left(\nabla^{2}+k^{2}\right) A=0}.∇2A+k2A=(∇2+k2)A=0.利用相同思路，可以得到时间项T(t)T(t)T(t)满足d2Tdt2+ω2T=(d2dt2+ω2)T=0\frac{d^{2} T}{d t^{2}}+\omega^{2} T=\left(\frac{d^{2}}{d t^{2}}+\omega^{2}\right) T=0dt2d2T+ω2T=(dt2d2+ω2)T=0时间项为二阶常微分方程。

wikipedia-Helmholtz equation

表面等离极化激元（surface palsmon polarirons）

自由电子气模型表明，体自由电子集体共振（即等离激元，plasmon）只存在纵波模式，因此三维等离激元无法与电磁横波耦合形成表面等离极化激元。
在电介质（介电常数大于零）-金属（介电函数实部小于零）界面处可以形成等离激元与电磁场的耦合，即表面等离激元（surface palsmon polarirons, spps）。
表面等离激元在垂直界面方向发生衰减，但在电介质与金属中衰减长度不同，在平行于界面方向表面等离激元可以进行传播。

单界面spps色散关系推导

单界面spps的推导是利用无自由电荷、无自由电流、无磁化的Maxwell方程组，代入边界条件，得到色散关系。束缚电荷的信息包含在了介电函数ε(r)\varepsilon(r)ε(r)中。

在介质中的波动方程为，
∇×∇×E=−μ0∂2D∂t2\nabla \times \nabla \times \mathbf{E}=-\mu_{0} \frac{\partial^{2} \mathbf{D}}{\partial t^{2}}∇×∇×E=−μ0∂t2∂2D由恒等式∇×∇×E≡∇(∇⋅E)−∇2E\nabla \times \nabla \times \mathbf{E} \equiv \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E})-\nabla^{2} \mathbf{E}∇×∇×E≡∇(∇⋅E)−∇2E以及无自由电荷条件∇⋅(εE)≡E⋅∇ε+ε∇⋅E=∇⋅D=0\nabla \cdot(\varepsilon \mathbf{E}) \equiv\mathbf{E} \cdot \nabla \varepsilon+\varepsilon \nabla \cdot \mathbf{E}=\nabla \cdot \mathbf{D}=0∇⋅(εE)≡E⋅∇ε+ε∇⋅E=∇⋅D=0，考虑介电函数在波长尺度上∇ε(r)=0\nabla \varepsilon(\mathbf{r})=0∇ε(r)=0，波动方程可以写成如下形式
∇2E−εc2∂2E∂t2=0\nabla^{2} \mathbf{E}-\frac{\varepsilon}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \mathbf{E}}{\partial t^{2}}=0∇2E−c2ε∂t2∂2E=0注意，关于电场旋度的旋度展开后第一项，在以下三种条件中都为零：1. 空间中无电荷存在，此时∇E=0\nabla \mathbf{E}=0∇E=0；2. 电磁波为横波，此时∇(∇⋅E)=K(K⋅E)=0\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E})=\mathbf{K} (\mathbf{K} \cdot \mathbf{E})=0∇(∇⋅E)=K(K⋅E)=0，波矢K\mathbf{K}K与电场E\mathbf{E}E正交点乘为零；3. 无自由电荷，且介电函数在波长尺度上为零∇ε(r)=0\nabla \varepsilon(\mathbf{r})=0∇ε(r)=0，即本方程中条件。

定义k0=ωck_{0}=\frac{\omega}{c}k0=cω为真空中传播波矢，与Helmholtz方程推导类似，将第二项写成波矢k0k_0k0形式得到，∇2E+k02εE=0\nabla^{2} \mathbf{E}+k_{0}^{2} \varepsilon \mathbf{E}=0∇2E+k02εE=0

考虑如下结构，

波沿xxx方向传播，在yyy方向没有空间上的区别。此时介电函数ε(r)=ε(z)\varepsilon(\mathbf{r})=\varepsilon(z)ε(r)=ε(z)，E(x,y,z)=E(z)eiβx\mathbf{E}(x, y, z)=\mathbf{E}(z) \mathrm{e}^{i \beta x}E(x,y,z)=E(z)eiβx，其中β=kx\beta=k_{x}β=kx。将此式代入Helmholtz方程，可得到波导方程的一般形式：∂2E(y,z)∂y2+∂2E(y,z)∂z2+(k02ε−β2)E=0\frac{\partial^{2} \mathbf{E}(y,z)}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \mathbf{E}(y,z)}{\partial z^{2}}+\left(k_{0}^{2} \varepsilon-\beta^{2}\right) \mathbf{E}=0∂y2∂2E(y,z)+∂z2∂2E(y,z)+(k02ε−β2)E=0其中∂∂y=0\frac{\partial}{\partial y}=0∂y∂=0，则该情境下方程为：∂2E(z)∂z2+(k02ε−β2)E=0\frac{\partial^{2} \mathbf{E}(z)}{\partial z^{2}}+\left(k_{0}^{2} \varepsilon-\beta^{2}\right) \mathbf{E}=0∂z2∂2E(z)+(k02ε−β2)E=0对于该方程存在TM模式（transverse magnetic mode）与TE模式（transverse electric mode），而通过计算可得到，在spps中只存在TM模式，即只有HyH_yHy、ExE_xEx、EzE_zEz为非零项。通过Maxwell方程组旋度方程可以得到三项关系如下，Ex=−i1ωε0ε∂Hy∂zE_{x}=-i \frac{1}{\omega \varepsilon_{0} \varepsilon} \frac{\partial H_{y}}{\partial z}Ex=−iωε0ε1∂z∂HyEz=−βωε0εHyE_{z}=-\frac{\beta}{\omega \varepsilon_{0} \varepsilon} H_{y}Ez=−ωε0εβHyHyH_yHy代入波导一般方程，满足波动方程∂2Hy∂z2+(k02ε−β2)Hy=0\frac{\partial^{2} H_{y}}{\partial z^{2}}+\left(k_{0}^{2} \varepsilon-\beta^{2}\right) H_{y}=0∂z2∂2Hy+(k02ε−β2)Hy=0由于在zzz方向波向两侧衰减，可得到如下解，在z>0z>0z>0区域：Hy(z)=A2eiβxe−k2zEx(z)=iA21ωε0ε2k2eiβxe−k2zEz(z)=−A2βωε0ε2eiβxe−k2z\begin{aligned} H_{y}(z) &=A_{2} \mathrm{e}^{i \beta x} \mathrm{e}^{-k_{2} z} \\ E_{x}(z) &=i A_{2} \frac{1}{\omega \varepsilon_{0} \varepsilon_{2}} k_{2} e^{i \beta x} \mathrm{e}^{-k_{2} z} \\ E_{z}(z) &=-A_{2} \frac{\beta}{\omega \varepsilon_{0} \varepsilon_{2}} e^{i \beta x} \mathrm{e}^{-k_{2} z} \end{aligned}Hy(z)Ex(z)Ez(z)=A2eiβxe−k2z=iA2ωε0ε21k2eiβxe−k2z=−A2ωε0ε2βeiβxe−k2z在z<0z<0z<0区域：Hy(z)=A1eiβxek1zEx(z)=−iA11ωε0ε1k1eiβxek1zEz(z)=−A1βωε0ε1eiβxek1z\begin{aligned} H_{y}(z) &=A_{1} \mathrm{e}^{i \beta x} \mathrm{e}^{k_{1} z} \\ E_{x}(z) &=-i A_{1} \frac{1}{\omega \varepsilon_{0} \varepsilon_{1}} k_{1} e^{i \beta x} \mathrm{e}^{k_{1} z} \\ E_{z}(z) &=-A_{1} \frac{\beta}{\omega \varepsilon_{0} \varepsilon_{1}} e^{i \beta x} \mathrm{e}^{k_{1} z} \end{aligned}Hy(z)Ex(z)Ez(z)=A1eiβxek1z=−iA1ωε0ε11k1eiβxek1z=−A1ωε0ε1βeiβxek1zkik_iki是两种介质中垂直于界面的波矢，上式就是表面等离极化激元的解。
由于边界条件（没有自由电荷），在界面处HyH_{y}Hy，εiEz\varepsilon_{i} E_{z}εiEz，ExE_xEx都是连续函数，因此可以得到：k2k1=−ε2ε1\boxed {\frac{k_{2}}{k_{1}}=-\frac{\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}}}k1k2=−ε1ε2将HyH_{y}Hy代入其满足的波动方程可以得到色散关系：k12=β2−k02ε1k_{1}^{2}=\beta^{2}-k_{0}^{2} \varepsilon_{1}k12=β2−k02ε1k22=β2−k02ε2k_{2}^{2}=\beta^{2}-k_{0}^{2} \varepsilon_{2}k22=β2−k02ε2整理后得到β=k0ε1ε2ε1+ε2\boxed {\beta=k_{0} \sqrt{\frac{\varepsilon_{1} \varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}}}}β=k0ε1+ε2ε1ε2上式就是spps的色散关系表达式，亦可写成k=wcε1ε2ε1+ε2\boxed {k=\frac{w}{c} \sqrt{\frac{\varepsilon_{1} \varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}}}}k=cwε1+ε2ε1ε2详细推导可以参考Stefan.M.Maier所著的Plasmonic: Fundamentals and Applications.

单界面spps色散关系讨论

在推导spps色散关系时曾通过连续性条件得到k2k1=−ε2ε1\frac{k_{2}}{k_{1}}=-\frac{\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}}k1k2=−ε1ε2由于spps是束缚在界面传播的波，在垂直于界面方向是衰减的波，垂直于界面波矢实部大于零，即ℜ(ki)>0\Re (k_i)>0ℜ(ki)>0。
为满足上述方程以及ℜ(ki)>0\Re (k_i)>0ℜ(ki)>0，ℜ(ε1)\Re (\varepsilon_1)ℜ(ε1)与ℜ(ε2)\Re (\varepsilon_2)ℜ(ε2)需要一正一负。这也就是我们所说的spps只会发生在界面两侧介电函数实部符号不同的情况（空气介电常数大于零，金属介电函数实部小于零）。

单界面spps满足色散关系，k=wcε1ε2ε1+ε2k=\frac{w}{c} \sqrt{\frac{\varepsilon_{1} \varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}}}k=cwε1+ε2ε1ε2考虑上层介质为空气，即ε1=1\varepsilon_{1}=1ε1=1，下层介质为满足自由电子气模型且不考虑阻尼的金属，即ε(ω)=1−ωp2ω2\varepsilon(\omega)=1-\frac{\omega_{\mathrm{p}}^{2}}{\omega^{2}}ε(ω)=1−ω2ωp2，作图可得，

εair=1,εsilica=2.25\varepsilon_{air}=1, \varepsilon_{silica}=2.25εair=1,εsilica=2.25，实线为传播波矢β\betaβ的实部，虚线为β\betaβ的虚部。
在大波矢区域，可以得到spps角频率趋近于：ωsp=ωp1+ε2\omega_{\mathrm{sp}}=\frac{\omega_{\mathrm{p}}}{\sqrt{1+\varepsilon_{2}}}ωsp=1+ε2ωp此时spps的群速度vg=dw(k)dk=0v_g=\frac{dw(k)}{dk}=0vg=dkdw(k)=0，此时spps不再传播，而具有静电特点，称为表面等离激元。

对于相同角频率的波，在spps中波矢kxk_xkx始终大于真空/空气中波矢k0k_0k0。因此为了激发spps需要通过各种方法来满足波矢匹配条件。也正因为相同的原因spps可以束缚在界面内传播，而不会向垂直界面方向传播。

surface palsmon polarirons
wikipedia-surface palsmon polarirons

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