实数系的基本定理

从今天开始，我将系统地讲一遍高等数学课程，内容至少涵盖考研高数的大纲要求，尽我所能使大家水平有提高，成绩有提升。

第一章函数与极限

变量与函数是微积分的基本研究对象，极限是微积分研究的基本工具。函数有两个要素，定义域和对应法则。微积分中函数的定义域，一般指实数集其子集。

1.1 实数

有理数与无理数

公元前500多年古希腊的毕达哥拉斯学派发现，等腰直角三角形的腰和斜边没有公度，从而在人类史上首次发现了无理数的存在，这是数学史上的一件大事。即如下问题：

我们已经知道，有理数指的是整数、有限小数和无限循环小数，以此为参照，我们把无理数形式地视为“无限不循环小数”，或者“一串有理数无限逼近的结果”，而不打算给出其严格的定义。

有理数和无理数统称实数。

2. 实数集的性质

(1)实数集是一个数域，任意两个实数做加减乘除(除数不为零)之后仍然是一个实数，即实数域对四则运算封闭。

(2)对乘法和加法满足交换律、结合律与分配律，即

上面三条性质对于有理数也是成立的，即有理数也是满足交换律、结合律和分配律的有序数域。

然而，有理数域与实数域有本质的区别，这主要体现在极限运算方面。有理数域对极限运算不是封闭的，就是说，存在有理数列，但它的极限不再是有理数；但是实数数列的极限如果存在的话，这个极限必然是实数，这被称为实数域的完备性(或连续性)。

著名的单调有界准则：单调有界数列必然存在极限和实数的完备性等价。

历史的注记

公元前500多年古希腊的毕达哥拉斯学派发现无理数，这是数学史上的一件大事。毕达哥拉斯的信条“万物皆数也”中的“数”其实指的是有理数，他们的许多定理都是建立在这一逻辑基础上。而由他们自己发现的——等腰直角三角形的斜边与腰没有公度(即不存在那么一条线段，使得斜边和腰都是它的整数倍)，直接导致了毕达哥拉斯学派的逻辑体系的危机。直到公元前370年，希腊数学家欧多克斯才巧妙地克服了这一困难，但他只定义了什么是两个长度的比，并没有回答什么是无理数。

完整的实数概念出现在19世纪，通常人们归功于戴德金(1831-1916)及康托(1845-1918)等人，他们分别给出了实数的严格定义，本质上都是将无理数视为有理数逼近的结果。严格的实数理论的建立是分析学发展的必然结果，它与极限理论的基础及连续函数的基本性质的证明紧密相关。

毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前580-前501)，古希腊著名数学家与哲学家，他组织的学派非常重视数学，试图用数解释万物，该学派特别强调逻辑演绎，当时他们已经掌握一大批几何定理的证明，其中包括勾股定理，该学派对欧几里得《几何原本》的出现及欧洲的理性文明有重要影响。

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