量子纠缠是量子物理的基本性质，他描述的是：当几个粒子相互作用后，无法单独描述各个粒子的性质，只能整体描述，本文主要介绍两个量子比特之间的纠缠。

量子比特（Qubit）

量子比特是量子计算的基本单位，就像经典比特是经典计算的基本单位一样。

但是不同的是，经典比特是确定的，他可以是0，也可以是1，但是一定是确定的0或者1，而量子比特则可能是 $| 0\rangle $ ，可能是 $| 1\rangle $ ，也可能是 \(\alpha_0\) 的平方概率的 $| 0\rangle $ 加上 \(\alpha_1\) 的平方概率的 $| 1\rangle $ ，即所谓的叠加态，用数学来描述如下： \(\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle\) （ $\alpha_0 $ 和 $\alpha_1 $ 是复数， \(\alpha_0 ^2+\alpha_1 ^2=1\) ）。在此突然提到的 \(| 0\rangle\) 是狄拉克符号，目前就把它当作是0、1就好。

叠加态是一种存在，但是不能观测的态。在你没有观测的时候，粒子可能是 \(| 0\rangle\) 也可能是 \(| 1\rangle\) ，但是当你观测了，他就会以 \(\alpha_0\) 的平方概率确定自己在 \(| 0\rangle\) ，或者以 \(\alpha_1\) 的平方概率确定自己在 \(| 1\rangle\) ，无论结果是什么，他会确定一个状态，再次测量也不会变。

量子比特的物理实体

经典比特，我们用高电平表示1，低电平表示0，那么量子比特呢？

显然，并没有一种电平可以一定概率低，一定概率高，但是粒子可以，粒子可以以一定概率处于低能级又一定概率处于高能级。

以氢原子举例，当电子在基态的时候，我们用 \(| 0\rangle\) 来描述，当电子在激发态的时候，我们用 \(| 1\rangle\) 来描述。

当然粒子除了氢原子还有其他，那么能级也就可能不仅仅是基态、激发态，将会有第一激发态、第二激发态等，这就是k-level system，我们的表示也就是 \(| 0\rangle\) 、 \(| 1\rangle\) 、 \(| 2\rangle\) 了，不过一般，我们都选择两个能级的，只用 \(| 0\rangle\) 、 \(| 1\rangle\) 来描述。

除了粒子，光的偏振也能用来表示量子比特，我们将横着的光用 \(| 0\rangle\) 来描述，纵着的用 \(| 1\rangle\) 来描述。如果将一个横着的偏振片放在一束斜着45°角的光前，那么每一个光波将以 \(cos^2 \frac{\pi}{4}\) 的概率决定自己是横着，然后通过光栅，或者以 \(cos^2 \frac{\pi}{4}\) 的概率决定自己纵着，然后被光栅拦下。从宏观上看，就是我这束光的能量通过偏振片后只有原来的 \(cos^2 \frac{\pi}{4}\) 了，因为其他的被拦住了，通过的光，是纯粹的横着的光，如果在这之后再加上纵着的偏振片，光会全部被拦下，这也就是我们前面说的测量后结果不会再变。

量子的几何表示

我们将完全处于 \(| 0\rangle\) 或 \(| 1\rangle\) 的态成为纯态，他们没有体现量子叠加的性质，和普通的经典比特没有什么区别。

一个量子比特的任意叠加态都是他纯态的线性组合，我们用 \(\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle\) 来表示一个任意的叠加态，当然，概率等于一的归一性原理是要满足的， \(\alpha_0 ^2+\alpha_1 ^2=1\) 。

将 \(\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle\) 化简成 $ \left[ \begin{array}{}{\alpha_0} \ {\alpha_1}\end{array}\right]$ 就是我们喜欢的线性代数表达了，这样更加的简洁。

我们可以这么理解这个向量，因为量子态只可能是 \(| 0\rangle\) 或 \(| 1\rangle\) 两种情况，所以这是一个二维的空间，然后 \(| 0\rangle\) 和 \(| 1\rangle\) 是这个空间的正交基，那么一个量子态就是这个空间的一个单位向量。

一个空间不止一组正交基。

令 \(|+\rangle = \frac{1}{\sqrt2}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|1\rangle\) ， \(|-\rangle = \frac{1}{\sqrt2}|0\rangle - \frac{1}{\sqrt2}|1\rangle\) ， $|+\rangle $ 和 $|-\rangle $ 又构成了空间的另一组基。我们将 \(| 0\rangle\) 和 \(| 1\rangle\) 的基成为standard basis，$|+\rangle $ 和 $|-\rangle $ 的基称为sign basis。

两比特的量子系统

单量子比特的系统，有 \(| 0\rangle\) 和 \(| 1\rangle\) 两种可能，用 \(\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle\) 描述。

两量子比特的系统，有 \(| 0\rangle| 0\rangle\) 、 \(| 0\rangle| 1\rangle\) 、 \(| 1\rangle| 0\rangle\) 、 \(| 1\rangle| 1\rangle\) 四种可能（ \(| 0\rangle\otimes| 0\rangle\) 、 \(| 0\rangle| 0\rangle\) 、 \(| 0 0\rangle\) 都是同一个意思的表达，就是不同的化简程度， \(\otimes\) 是张量积的意思），则我们可以用 \(\alpha_{00} | 00\rangle+\alpha_{01} | 01\rangle+\alpha_{10} | 10\rangle+\alpha_{11} | 11\rangle\) 来描述， \(\alpha_{00}^2\) 是测量时落在 \(| 0 0\rangle\) 的概率，同样，他们的平方加起来的概率为1。

对于一个两量子比特的系统，如果我们测量第一个粒子，得到 \(| 0\rangle\) ，那么第二个粒子的状态则为： \(\frac{\alpha_{00} | 0\rangle+\alpha_{01} | 1\rangle}{\sqrt{\alpha_{00} ^2+\alpha_{01}^2 }}\) (第一个粒子为一的可能就消除了，下面的分母是为了保证概率的归一性)

从另一个角度思考，每一个比特都是 \(\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle\) ，那么我是否可以用 \((\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle)(\beta_0 | 0\rangle +\beta_1 | 1\rangle)\) 的乘积来描述两个比特的系统呢？

NO

不是每一个两量子比特系统都可以分解成两个单量子比特系统的乘积形式。

比如，著名的Bell态： \(\frac{1}{\sqrt2}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|11\rangle\)

对于这样的系统，你没有办法将他分成两个单独的系统来描述，我们称这样的态为纠缠态。

假设两个量子系统A和B的联合状态为 \(\rho_{AB}\) ，单独的状态为 \(\rho_{A}\) 和 \(\rho_{B}\) ，如果可以写成以下形式 \(\rho_{\mathrm{AB}}=\sum_{\mathrm{k}} p_{k} \rho_{k}^{A} \otimes \rho_{k}^{B}\) ， \(p_k\) 加起来和为一，如果可以，则说明这个态时可分态，否则就是纠缠态。

Bell态

对于一对bell态的粒子A、B： \(\frac{1}{\sqrt2}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|11\rangle\)

如果我们测量A，得到的结果是 \(| 0\rangle\) ，那么B不用测量，结果也一定是 \(| 0\rangle\) ，因为这个系统内不存在第一个粒子是 \(| 0\rangle\) ，第二个粒子不是 \(| 0\rangle\) 的可能性。

同理，测量B，A的结果也随之确定。

Bell态在standard basis和sign basis中的描述时一致的。

\[|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|11\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|++\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|--\rangle\]

证明很简单，将他们拆开就可以推出来了。

\[\begin{align}|\psi\rangle&=\frac{1}{\sqrt2}|++\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|--\rangle\\&=\frac{1}{\sqrt2}(\frac{1}{\sqrt2}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt2}|1\rangle)(\frac{1}{\sqrt2}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt2}|1\rangle)+\frac{1}{\sqrt2}(\frac{1}{\sqrt2}|0\rangle-\frac{1}{\sqrt2}|1\rangle)(\frac{1}{\sqrt2}|0\rangle-\frac{1}{\sqrt2}|1\rangle)\\&=\frac{1}{\sqrt2}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|11\rangle\end{align}\]

同理，也可以证明态在任意正交基下的描述：
令我新的基为 \(|u\rangle\) 和 \(|u'\rangle\) ， \(|u\rangle\) 肯定可以用 \(| 0\rangle\) 和 \(| 1\rangle\) 来表示，因为 \(| 0\rangle\) 和 \(| 1\rangle\) 是基可以描述这个空间的任意向量，假设 $|u\rangle=a| 0\rangle+b| 1\rangle $ ，则 $|u'\rangle=-b| 0\rangle+a| 1\rangle $ 因为他们相互垂直。
按照上文推导，能得到以下结果：

\[|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|11\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|uu\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|u'u'\rangle\]

EPR佯谬

EPR几个字是Einstein、Podolsky、Rosen这三个大佬名字的首字母。

既然这里有大佬爱因斯坦，他老爷子肯定觉得自己的相对论是对的，即，消息的传播速度不能超过光速。

第二点，当时的人普遍赞同的定域性理论，即，一个物体只能被周围的力量影响。如果某一点的行动，要影响到另一点，在中间的空间，例如场，会成为运动的中介。

将这两点结合来看，如果我有一对粒子，他们相距很远，在宇宙的两端，那么我对第一个粒子的作用，一定会隔一段时间才会影响到我的第二个粒子。

不确定性原理

这里我们先提一下量子里的不确定性原理，他指的是：粒子的位置与动量不可同时被确定，位置的不确定性越小，则动量的不确定性越大，反之亦然。

对于不同的案例，他有不同的内涵，在这里，对于一个量子比特来说，当我们确定了，他在 \(| 0\rangle\) 和 \(| 1\rangle\) 这组基下测量有了具体的值，就不可能同时在 $|+\rangle $ 和 $|-\rangle $ 这组基下有确定的值。

一个量子比特可以用以下两种方式来描述描述是：

\[ |\psi\rangle =\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle=\beta_0 | +\rangle +\beta_1 | -\rangle\]

我们将 \(|\alpha_0|+|\alpha_1|\) 称为spread，记作 \(S_{\alpha}\) ，越确定，则S越靠近1，越不确定，则S越靠近 \(\sqrt2\) 。

不确定性原理则是指 $S_{\alpha}S_{\beta} >=\sqrt2 $

我们不可能同时确定一个量子在standard basis和sign basis的值

矛盾

如果我们有一对bell态的量子比特，则他们处于：

\[|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|11\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|++\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|--\rangle\]

如果我们将这对量子放得很远，那么我在对第一个粒子测量他在standard basis的值时，对第二个粒子测量他在sign basis的值，我是不是就可以同时得到standard basis和sign basis的值了呢？

因为他们放的很远，所以他们的测量也不会立即影响另一个的结果，影响需要时间来传播，而在传播时间内，我就可以测量得到我要的值了。

与不确定性原理矛盾。

这也就是爱因斯坦大佬觉得量子力学不完备的原因，当然，后面证明爱因斯坦大佬错了，因为他推到结果的一个前提有问题，就是当时大多数人赞同的定域性原理，量子具有非局域性原理，一对粒子隔得再远，他们的相互影响也可以瞬间完成，我们将这种超距作用成为量子纠缠。

一个小小的注意：

量子纠缠打破了爱因斯坦相对论中信息不能超光速传播吗？

没有。

一对相距很远的量子比特A、B，虽然无论我测量A的结果是什么，B都可以马上知道，但是我能拿这个传递信息吗？不能，因为我也不知道我测量A的结果是什么。

参考资料：

Quantume Mechanics & Quantume Computation Lecture 2

Quantume Mechanics & Quantume Computation Lecture 3

Quantume Mechanics & Quantume Computation Lecture 4

Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete' ?