首先忽略其他星球对发射物体的影响！则物体发射后只受万有引力作用。

如果地球表面上一点，我们以初速度V0发射一个质量为m的物体，仰角为α，那么该物体的运动轨道如下分析：

以发射点水平为x轴，地心为原点，发射地点与地心连线为y轴，该问题即为，求（x，y）坐标的问题。

由万有引力公式，得到物体受力为 $\frac{-GMm}{x^{2}+y^{2}}$ ,其中G为引力常数，M为地球质量，由牛顿第二定律，由cosα和sinα，得到物体在x和y方向的受力公式：

这就是发射卫星(或导弹)所遵循的微分方程，求解仅用到了高数的一些知识，不做赘述，只简单按顺序列举一下求解遇到的方法：

①，令dx/dt=u，dy/dt=v，则化为一阶方程组（现代控制理论状态空间表达式类似）

②，x*dv/dt-y*du/dt得到一个式子，u*du/dt+v*dv/dt得到另一个式子

③，坐标变换法，利用极坐标法：x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出高数里的微分dx，dy，代入上述②得到的两个式子，联立，消去dθ/dt，求出dρ/dt

④，变量代换法，将ρ替换成1/u，③式的dρ/dt即化简为dθ和du的可积分式，利用arccosθ的一阶导数公式，积分出θ，进而求出ρ

令：

C1、C2是由②，x*dv/dt-y*du/dt得到一个式子，u*du/dt+v*dv/dt得到另一个式子，这两个式子因积分处理而带有的常数项，C是由④，变量代换法，积分出θ，进而求出ρ，由积分所带有的常数，C1C2和C均可由t=0时刻的初始值求出。

上式的ρ，就是以极坐标形式表示的发射物体（可是卫星，可是导弹等等）的运动轨迹。

该极坐标式表示椭圆、双曲线、抛物线的标准方程。其中C1、C2取决于发射的初值条件，如初速度和发射仰角。

该式在使用时，只有ρ和θ有物理意义，代表着物体发射后的运动曲线。

在使用该公式时，如果你希望发射人造卫星，肯定是绕地球运动，所以轨道应为椭圆，而且根据对近地点、远地点以及长短轴长度的要求去设计该椭圆参数，从而控制发射初速度V0和仰角α。

在使用该公式时，如果你希望发射导弹，如洲际导弹，所以轨道应为双曲线或抛物线，而且根据要求去设计该曲线参数，从而控制发射初速度V0和仰角α。

本文来源《常微分方程》之偏微分方程应用

----后续持续更新有关各类算法的简化应用版，希望大家跟我一起简化这个世界！

2021/06/10：北京航空航天大学，Mr Wang

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世界需要简化第四篇：从地面发射人造卫星或战术导弹，如何控制其运行轨道？——算法经高度抽象简化，所有下标经仔细核对

大家物理都学过，物体平抛运动的轨迹是抛物线，那么将仰角引入，将初速度增大，至飞离上万米高空的地球，怎么控制它的飞行运动轨迹呢？

本篇来介绍一下，足不出户，一探发射卫星或洲际导弹，如何控制其运行轨道问题！

首先忽略其他星球对发射物体的影响！则物体发射后只受万有引力作用。

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以发射点水平为x轴，地心为原点，发射地点与地心连线为y轴，该问题即为，求（x，y）坐标的问题。

由万有引力公式，得到物体受力为 $\frac{-GMm}{x^{2}+y^{2}}$ ,其中G为引力常数，M为地球质量，由牛顿第二定律，由cosα和sinα，得到物体在x和y方向的受力公式：

上式的ρ，就是以极坐标形式表示的发射物体（可是卫星，可是导弹等等）的运动轨迹。

在使用该公式时，如果你希望发射人造卫星，肯定是绕地球运动，所以轨道应为椭圆，而且根据对近地点、远地点以及长短轴长度的要求去设计该椭圆参数，从而控制发射初速度V0和仰角α。

在使用该公式时，如果你希望发射导弹，如洲际导弹，所以轨道应为双曲线或抛物线，而且根据要求去设计该曲线参数，从而控制发射初速度V0和仰角α。

本文来源《常微分方程》之偏微分方程应用

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