三维几何图形创作方法（Geometry3D）之三

本文所讲的内容已经开源，你可以在这里找到源代码。

前面我们介绍了三维图形的轴测投影画法，以及使用斜二测图画常见的三维多面体。本文介绍使用正等测图画常见的三维带圆弧的图形。

圆台

在圆柱、圆锥、圆台中，我们从圆台开始，因为圆柱、圆锥其实是圆台的一种特例。

这里，我们规定圆台上下两个面的半径（r，R）存在固定的比例，比如（r = R * 0.5）。

在输入的两点 A、B 中，我们以 A 点作为小圆的圆心，规定 B 点作为大圆最右（左）侧点，假设圆台高为 h，那么显然有：

$R = abs(x_{B} - x_{A})$

$h = abs(y_{B} - y_{A})$

那么，三维空间的圆，映射到二维平面，应该是什么图形呢？

根据正等测投影变换，有：

$\begin{bmatrix} -\sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 & 0 \\ \sqrt{6}/6 & \sqrt{6}/6 & -\sqrt{6}/3 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} x \\ y \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix}$

这里 (X，Y) 是圆的二维映射上的点坐标，所以有：

$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{6} /2 * Y - \sqrt{2} /2 * X \\ \sqrt{6} /2 * Y + \sqrt{2} /2 * X \end{bmatrix}$

对于平行于x、y 平面的圆，有 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ ，所以：

$x^{2} + y^{2} = X^{2} + 3Y^{2} = r^{2}$

所以在正等测投影变换下，平行于x、y 平面的圆的二维映射是一个椭圆，且其长轴（平行于 x 轴）半径与圆的半径 r 相等，短轴半径为 $r / \sqrt{3}$ 。

圆锥

当圆台上下两个面的半径（r，R）的比例为 0 时，即 r = 0 时，就变成圆锥。此时，小圆退化为一个顶点，。其他计算完成沿用圆台的过程就行了。

圆柱

圆柱则更简单，将圆台上下两个面的半径（r，R）的比例设置为 1 即可。

球

在输入的两点 A、B 中，我们以 A 点作为球心，两点距离作为半径（依据在下面说明）。

在画球时，实际上是是画了三个圆心、半径都一样的圆。

在上面我们已经证明 x，y 平面的圆（用平面 $z = 0$ 切球），其正等测投影是一个椭圆。

我们再取平面 $x + y + z = 0$ ，用这个面切取球形成的圆，我们来看看它的正等测投影是什么？

结合投影变换、球方程：

$\begin{bmatrix} -\sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 & 0 \\ \sqrt{6}/6 & \sqrt{6}/6 & -\sqrt{6}/3 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix}$

$x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2}$

去掉 z，则：

$\begin{bmatrix} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \sqrt{6} \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} y - x \\ y + x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2X \\ 2Y \end{bmatrix}$

$2(x^{2} + xy + y^{2}) = r^{2}$

上面第一个式子平方求和，有：

$4(X^{2} + Y^{2}) = 8(x^{2} + xy + y^{2}) = 4r^2$

所以这个切面圆的正等测投影其实也是一个圆，并且半径与球的半径相等。

这就是为什么我们在画球时，一般会先直接画一个圆的原因了。另外可以规定输入的 B 点也在这个投影上，所以有“A、B 两点距离就是球的半径”这样的结论。

椭球

椭球有三个轴，分别平行于 x、y、z轴，确定了球心和半径，就可以作图了。

在三个轴中，我们规定有两个轴长是相等的，三个半径分别为：(w, h, h) 。所以椭圆方程为：

$\frac{x^{2}}{w^{2}} + \frac{y^{2}}{h^{2}} + \frac{z^{2}}{h^{2}} = 1$

在输入的两点 A、B 中，我们以 A 点作为球心，B 点作为切平面 $x + y + z = 0$ 所切椭圆的包围矩形的一个顶点。

三维几何图形创作方法（Geometry3D）之三相关推荐

三维几何图形创作方法（Geometry3D）之一
前面我们介绍了在场景中构建二维几何图形的方法. 二维几何图形创作方法(Geometry2D) 这里我们继续介绍三维几何图形的构建方法. 同样, 输入两个点A.B,要能够快速的画出三维几何图形.相比于二 ...
二维几何图形创作方法（Geometry2D）
本文所讲的内容已经开源,你可以在这里找到源代码. 这里我们介绍一下在场景中构建二维几何图形,计算图形的顶点.边的方法.创作几何图形主要依靠鼠标(或者触摸屏.手写笔之类的点输入设备),输入几个点,快 ...
山体计算机科学与技术,三维山体建模方法初探
论文导读:随着信息技术的逐步发展和社会要求的逐步提高,虚拟现实的研究领域开始转向山体.水域等不规则形态的实体.本文以山体为例就不规则形体的可视化过程进行研究,探讨一种不需要实体数据,计算机可视化技术与 ...
java三维滑雪,第六章三维数据空间分析方法.ppt
第六章三维数据空间分析方法 * * * * 可视性分析 * * 自然邻域法插值基本思路: 利用输入点及邻近栅格单元进行插值生成栅格表面. 方法: 利用输入数据点(样本点)为节点,建立Delauna ...
数字化转型知识方法系列之三：以价值效益为导向推进数字化转型的五大重点任务
数字化转型知识方法系列之三:以价值效益为导向推进数字化转型的五大重点任务人工智能技术与咨询一.数字化转型应围绕价值效益系统性推进新一轮科技革命和产业变革迅猛发展,世界正处在一个从工业时代向信息时 ...
利用计算机绘制地质图的思路和方法,基于平面地质图的三维地质建模方法研究...
摘要: 平面地质图综合了地质野外勘察工作成果与地质专家知识,揭示了地区的岩石.地层和地质构造等信息,是人们了解区域地质最易获取和最直接的数据源.研究基于平面地质图的三维地质体建模方法,能够有效地解决缺 ...
python 三维曲线拟合_python实现三维拟合的方法
如下所示: from matplotlib import pyplot as plt import numpy as np from mpl_toolkits.mplot3d import axes3 ...
Python笔记：matplotlib 三维图表绘制方法简介
Python笔记:三维图表绘制方法简介 1. python三维图表绘制方法简介 2. 实例说明 1. 三维曲线图绘制 2. 三维散点图绘制 3. 三维曲面图绘制 3. 参考链接 1. python三维 ...
python 3d图表_matplotlib 三维图表绘制方法简介
1. python三维图表绘制方法简介 python三维图表的绘制算是二维图表的一个进阶版本,本质上和二维图表的绘制并无差别,唯一的区别在于使用的库略有差异. 相较于二维图表使用的pyplot库,三维 ...
【金猿技术展】基于数据控制三维组态的方法及装置——实现数据驱动三维模型的精准运转技术...
数字冰雹技术本项目由数字冰雹投递并参与"数据猿年度金猿策划活动--2021大数据产业创新技术突破榜榜单及奖项"评选. 数据智能产业创新服务媒体 --聚焦数智 · 改变商业基于数 ...

三维几何图形创作方法（Geometry3D）之三

圆台

圆锥

圆柱

球

椭球

三维几何图形创作方法（Geometry3D）之三相关推荐

最新文章

热门文章