对多元函数微分一些思考和总结

看几个知乎大佬的解释之后，有些头绪了。梳理一下自己的理解。

1、微分是个什么东西？

先从一元微分下手：
一元微分是什么？
结论：两个身份：线性变化量，是函数变化的逼近

从公式可以看出：
线性变化量：dy=AΔx
函数变化的逼近：

引入微分的作用？它能干啥？
从两个角度出发来理解：

1、研究函数在某点的变化情况
古典微分（还没有提出极限）：设想知道x0邻域变化情况，用一个x1去接近它，可以求出fx1-fx0的差值，即Δf。

当无限接近的时候，认为Δx=0，推出dy=Δy，dy称y的微分。为了研究变化情况，引入切线斜率（如果知道它斜率就可以知道变化情况），Δy/Δx=dy/dx=A（当年的导数还没有极限）。这其实很矛盾，前面认为Δx等于0了，后面又拿它来当分母。。。

引入极限的思想：
极限微分学（也就是我们学的）：用极限来表示这个“无限接近”。
从导数下手：

引入极限后，切线斜率就可以用割线斜率的极限来表示了。lim Δy/Δx=A。求斜率问题解决。
再回到微分定义公式：dy=AΔx
当Δx趋向0，dy不断逼近Δy。可以看出，微分是一种逼近，对变化量的逼近。

2、以直代曲（我感觉从这个角度更好理解）
问题提出：
由于大部分的函数并不是线性的，要求它某一点的函数值是很有难度的。能不能在某点的邻域内，用一个线性函数来表示该函数的邻域呢？如果可以，该点附近函数值和变化趋势不就都好求了吗？（以直代曲）

x是指在x0附件取点。即fx可以由一个线性函数+误差表示出来（即左右等价）—其实发现这也是可微的定义。
如果能求出误差，不就能将邻域情况表示出来了吗？
问题是求不出来。
换一个思路，让误差尽量小，小到什么程度—看你需要的精度呗，即设定某个接收阈值，误差小于这个阈值可以认为以直代曲成功。
引入极限的思想，认为如果误差与线性部分的比值（Δx是取趋于0极限的）=0，则认为这个误差是无足轻重的。

由此：可微：在某点的邻域内，可以以直代曲，这种做法是可接受的（误差无足轻重）

误差已经解决了，接下来找A
A即线性部分的斜率。

最左边的那个极限我们称为导数。求A即求导数就好了，不用知道fx是多少，通过求极限的方法来求导数。
由此：以直代曲成功！
再回到微分定义公式：dy=AΔx ，以直代曲中线性的主体部分
导数–斜率，取微分–以直代曲这个操作本身

1、全微分、偏导数、连续

一元：以直（切线）代曲
二元：以面（切平面）代曲
类比一元，想求出z在某点邻域情况。如果能用一个平面来表示该邻域情况，那变化情况就好求了。

平行z轴做平面，与曲面某点相交-得到相交曲线，对于该曲线（回到一元理解了）可做切线，如果此时x=C，即曲线在yz平面中，切线斜率即所谓对y偏导数。
全微分：类比一元：

这里主要想讨论连续、偏导、全微的关系。
全微即：找得到一个切平面来表示某点邻域，即无数个平行z轴且过该点的平面与曲面相交，得到无数曲线，这些曲线的切线都存在，即360°微分都存在–可全微。

可偏导–x/y轴方向可微罢了，很明显是全微必要条件。
不连续，连切线找不到，更别谈全微了

偏导数存在能推出连续吗？
只能说在某个方向它是连续的，但其他方向不一定。多元函数连续，说的是所有方向都连续。

连续能推出偏导数存在吗？

很明显，此时该曲线有尖点，偏导数不存在。

微分这里思考了很久也不敢写总结，还是理解的不够，先力所能及地写，后面再改！

参考了许多大佬地文章：这里先贴一下链接，方便以后查找：
多元函数中可微与可导的直观区别是什么？ --马同学
如何通俗理解全微分 --刘梳子
微分、导数、积分，这三者之间，有没有联系？ --湖心亭看雪
导数与微分到底有什么区别？ --了不起地盖茨比