标题三角形外心的性质

当还在高中的你遇到三角形外心性质的问题，是不是很揪心呢

那今天就交给大家一个绝招，hhhhhhh

16340129 数据科学与计算机学院

一、三角形外心问题？

1.这个不多说啦，有图有问题，而且这类题一般都和向量有关

在这里涉及在外心O，即三角形三边的垂直平分线的交点，下面我们介绍解题的关键.

二、公式

1.形式

若\(\Delta\)ABC的外心O，则\(\Delta\)ABC具有以下性质：

\(\vec{AO}\)\(\cdot\)\(\vec{AB}\)=\(\frac{1}{2}\)\(\vec{AB^{2}}\)

\(\vec{AO}\)\(\cdot\)\(\vec{AC}\)=\(\frac{1}{2}\)\(\vec{AC^{2}}\)

证明：根据向量内积的定义，\(\vec{AO}\)射影到\(\vec{AB}\)上时为线段AB中点，得证.

三、解决方法？

1.解：

\(\vec{AO}\)\(\cdot\)\(\vec{AB}\)=\(\frac{1}{2}\)\(\vec{AB^{2}}\)=18 --------①

\(\vec{AO}\)\(\cdot\)\(\vec{AC}\)=\(\frac{1}{2}\)\(\vec{AC^{2}}\)=50 --------②

由题设中： \(\vec{AO}\)=x\(\cdot\)\(\vec{AB}\)+y\(\cdot\)\(\vec{AC}\)

带入①②整理得： \(\vec{AO}\)\(\cdot\)\(\vec{AB}\)=x\(\vec{AB^{2}}\)+y\(\vec{AB}\)\(\cdot\)\(\vec{AC}\)=18=36x+y\(\cdot\)\(\vec{AB}\)\(\cdot\)\(\vec{AB}\)

同理可得： \(\vec{AO}\)\(\cdot\)\(\vec{AC}\)=100y+x\(\vec{AB}\)\(\cdot\)\(\vec{AB}\)

设\(\vec{AB}\)\(\cdot\)\(\vec{AC}\)=m,解下列不等式：36x+ym=18

100y+xm=50

2x+10y=5

解得：\(m_1\)=20,\(m_2\)=36

下面进行分类讨论：①当\(m_1\)=20，\(\vec{AB}\)\(\cdot\)\(\vec{AC}\)=20，\(\cos\)∠BAC=\(\frac{1}{2}\)

②当\(m_2\)=36，\(\vec{AB}\)\(\cdot\)\(\vec{AC}\)=36，\(\cos\)∠BAC=\(\frac{3}{5}\)

综上所述：\(\cos\)∠BAC=\(\frac{1}{2}\)或\(\cos\)∠BAC=\(\frac{3}{5}\)

[footnote]

[1]题目来自珠海一中六校三联改编

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