矩阵的乘法与利用矩阵求解线性方程组

矩阵的乘法定义：假定A= $\left ( a_{ij} \right )$ 是一个m $\times$ s的矩阵，B= $\left (b_{ij} \right )$ 是一个s $\times$ n的矩阵，那么规定，矩阵A与矩阵B的乘积是一个m $\times$ n的矩阵C= $\left ( c_{ij} \right )$ ，其中， $c_{ij} = a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{is}b_{sj}=\sum\limits^s\limits_{k=1} a_{ik}b_{kj}$ (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

单看公式，可能理解有困难，我们直接上示例：

矩阵乘法示例1：

$\begin{pmatrix} 1 & 2 &3 \end{pmatrix}_{1\times 3}\times \begin{pmatrix} 4\\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}_{3\times 1} = 1{\times}4+2{\times}5+3{\times}6 = 32$

矩阵乘法示例2：

$\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}_{3\times1}{\times}\begin{pmatrix} 4 & 5 &6 \end{pmatrix}_{1\times3}=\begin{pmatrix} 1{\times}4 & 1{\times}5 & 1{\times}6 \\ 2{\times}4 &2{\times}5 &2{\times}6 \\ 3{\times}4 &3{\times}5 &3{\times}6 \end{pmatrix}_{3{\times}3}=\begin{pmatrix} 4 &5 &6 \\ 8& 10 &12 \\ 12& 15 &18 \end{pmatrix}_{3{\times}3}$

矩阵乘法示例3：

$\begin{pmatrix} -2 &4 \\ 1& -2 \end{pmatrix}_{2\times2}{\times}\begin{pmatrix} 2 &4 \\ -3& -6 \end{pmatrix}_{2\times2}=\begin{pmatrix} -2{\times}2+4{\times}-3 &-2{\times}4+4{\times}-6 \\ 1{\times}2+-2{\times}-3 & 1{\times}4+-2{\times}-6 \end{pmatrix}_{2\times2}=\begin{pmatrix} -16 &-32 \\ 8 & 16 \end{pmatrix}_{2\times2}$

矩阵乘法示例4：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0&2 &0 \\ 0&0 &3 \end{pmatrix}{\times}\begin{pmatrix} 1&1 &1 \\ 1 &1 &1 \\ 1& 1 &1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 &1 \\ 2& 2 &2 \\ 3& 3 & 3 \end{pmatrix}$

以上矩阵能够做乘法是因为他们的行和列正好满足：

A矩阵的列数=B矩阵的行数。

有一些矩阵就不满足这些条件，他们就不能做乘法，比如：

$A=\begin{pmatrix} 1 &1 \end{pmatrix} , B=\begin{pmatrix} 3 &3 \\ 3&3 \\ 3& 3 \end{pmatrix}$

他们不满足上面的条件，2！=3。所以他们不能做乘法。

上面的示例，我们通过python编程，使用numpy库实现：

import numpy as np
A = np.array([[1,2,3]])
B = np.array([[4],[5],[6]])
C = np.matmul(A,B)
print(C)
print()
A = np.array([[1],[2],[3]])
B = np.array([[4,5,6]])
C = np.matmul(A,B)
print(C)
print()
A = np.array([[-2,4],[1,-2]])
B = np.array([[2,4],[-3,-6]])
C = np.matmul(A,B)
print(C)
print()
A = np.array([[1,0,0],[0,2,0],[0,0,3]])
B = np.array([[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]])
C = np.matmul(A,B)
print(C)

运行，打印结果：

=====

下面介绍矩阵变换在解线性方程组中的应用。

假定有如下方程组：

$\left\{\begin{matrix} x+2y+3z=3 \\ 4x+5y+3z=3 \\ 7x+8y+10z=4 \end{matrix}\right.$

我们可以转换如下的矩阵：

$\begin{bmatrix} 1 & 2 &3 \\ 4 & 5&6 \\ 7 & 8 &10 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\\ 3\\ 4 \end{bmatrix}$

其中， $\begin{bmatrix} 1 & 2 &3 \\ 4& 5 &6 \\ 7& 8 &10 \end{bmatrix}$ 是系数矩阵，英文名为coefficient matrix。 $\begin{bmatrix} 3\\ 3\\ 4 \end{bmatrix}$ 为常数项矩阵。

有时候，我们会把系数矩阵和常数项矩阵合并。

$\begin{bmatrix} 1 &2 &3 &3 \\ 4 &5 &6 &3 \\ 7& 8 &10 &4 \end{bmatrix}$ ，这个矩阵叫增广矩阵，英文名为augmented matrix 。

这种矩阵，直接计算未知量，有一些困难，我们需要人为作一些操作，将它化简，有一种叫做高斯约尔当消元法，英文名为Gauss Jordan。

这种消元法其实就是我们最早解方程用的把方程进行系数相乘，相加，相减的办法。

可以考虑先消除x,这里先用第一行分别乘以 4，7然后与第二行，第三行相减。

$\left\{\begin{matrix} 1x+2y+3z=3 \\ 0+3y+6z=9\\ 0+6y+11z=17 \end{matrix}\right.$

这个表达式里面可以使用第二行乘以 2 与第三行作减法，消除y。

$\left\{\begin{matrix} 1x+2y+3z=3\\ 0+3y+6z=9\\ 0+0+z=1 \end{matrix}\right.$

其实到这里，z已经解出来了，我们继续把z带入第二行，求出y=1,最后带入第一行，x=-2。

上面的过程，貌似跟矩阵没什么关系，都是方程组基本变换。

这个方程，用python语言结合numpy,scipy库可以计算出结果。

import numpy as np
from scipy.linalg import solveA = np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]])
B = np.array([3,3,4])
C = solve(A,B)
print(C)

运行结果截图：

方程组也有无数解、无解的情况，无数解其实就是方程组最后化简，两条直线合并成了一条直线。无解就是两条直线不相交。关于无解其实就是最后化简会出现0=X 的情况，这里X是非0的任意值，这种情况是不成立的，比如0=1，所以无解。

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