离散数学学习心得（一）逻辑和证明

开始了开始了，又开个坑，离散数学。

离散数学就我来理解，就是不离散数学的对立面。离散的对立就是连续，说到连续很多人想到连续的函数、积分、等等概念。离散就是另一个方向，不连续数学。集合、计数、关系、树、图。如果我们希望用某种数学工具来表述模式、关联性（树、图）、属性（向量）之类的问题时，我们都需要借助到离散数学。

对于离散数学的理解之后会慢慢谈到，先进入这次的正题，逻辑和证明。

首先我们对逻辑语句这一类数学表达很熟悉，或、且、非blabla。中学时我们就知道，p且q、p或q我们都有理解，至少能知道其中的真值表。那么，高中时候的“送分题”有什么好研究的呢？

一、从一个小问题开始

我相信很多人听过一个谜题，在你面前有两个神，一个天使一个恶魔，你不知道哪个是天使哪个是恶魔，同时你面前有两条你不知道通往何处的路，一条通往天堂，一条通往地狱。但是我们知道天使只说真话，恶魔只说假话，现在你只能向你面前的某一个神问一个问题，请问怎么能够问出通往天堂的路。

答案揭晓，只需要问其中一个神：“另一个神会说哪条路去天堂？”。

假设你问的是天使，因为恶魔会骗人指向去地狱的路，天使只说实话。所以天使会如实的指向地狱的路。

假设你问的是恶魔，天使会指向去天堂的路，但是恶魔只说谎话，所以他会指向去地狱的路。

也就是说无论是你问的是什么神，他们都会指向去地狱的那条路。这里面蕴含了什么知识？

就是高中的那道送分题，事件P为真，事件Q为假时，（P且Q）为假。仔细一想，天使说的话必定为真，恶魔说的话必定为假那我们那我们把他们两个的话取且运算，就必定为假。

不知道你会怎么想，我在第一次解决这个问题时有一些惊讶，很多看上去很浅显而又比较简单的知识在应用时，我却没有任何意识，这就是因为我从来没有去理解过这些知识。

说到这里你也许有一些感觉了，逻辑运算是解决计算机问题的所有基础。计算机就是由0和1组成，从图灵机到人工智能，都离不开逻辑运算与证明。

二、对于运算符的理解

我认为且、或、非、异或运算不需要赘述其公式，我就来谈谈对其理解。

以前我一直有一个问题，那就是我拿两个十进制的数字来进行位运算，有些什么意义呢？现在我的答案是，没有意义（除非你你想找数当中2的幂问题）。

布尔代数只有0和1、我们可以去理解成不存在（0）与存在（1）。那么两个布尔代数做运算时：

且：同时存在或：至少存在一个异或：存在且仅存在一个。

另外就是非，非也就是取反。还有一个符号，→（条件语句）。我们不能把→符号理解成“推理出”。例如P→Q，这个语句的意思是P是Q的充分条件，如果是双向箭头那就是充分必要条件。另外，这个符号有一些反直觉当P→Q为真时，大家可能认为Q为真蕴含着P为真，但实际上是P为真蕴含着Q为真。

也就是说，当语句P→Q为真时，P为真时Q一定为真，而Q为真时P不一定为真。

P→Q符号意思就是，如果P那么必定Q。很多时候我们不能去思考其现实中的意义，我们关注的只是其真值表。

但是我们仍然可以举出一些生活的例子，就拿《离散数学及其应用》一书上的例子。一位政治家说：如果我被选上，那么就施行减税政策。那么P事件为“我被选上”，Q事件为“施行减税政策”，政治家说的话就是P→Q。

我们看到真值表：P和Q都为真时，也就是说政治家选上了，而且实行了减税，政治家说的话当然是真的。

P为假，Q为真时，这句话也为真。很好理解，如果该政治家没有选上，其他政治家施行减税政策，Q依然成立。而这个事情的结果和政治家的话不冲突，那么政治家的话就是真的。

P为真，Q为假时，P→Q为假。也就是说政治家选上了却没有施行减税，说明政治家骗人，他说的是假的。

同样，P为假，Q为假也没有冲突。他没有被选上减税政策也不被施行。我们发现当条件为假时，语句必定为真，因为条件为假时，结果是什么样子都是合理的，结果的真值就不受条件语句的控制。

这是很好理解的例子，或许你认为这是一个可以根据常理来推断的。但事实不是如此，例如，假设明天下雨，那么昨天下雨。乍一看，这个语句没有意义啊。昨天下没下雨已经定格了啊，和明天下雨有什么关系呢？但是在数学中这一语句仍然可以画出真值表，而且可以为真也可以为假。

三、推理

推理当中最为核心的一句话就是，一个论证的有效性取决于论证形式的有效性。

当我们想要证明一个语句时，我们就需要用到论证。论证就是一连串的前提，和一个结论。而前提和结论都是命题，当所有的前提为真蕴含着结论为真时，论证就是有效的。论证形式是什么呢？我们可以认为论证形式就是各种各样的推理规则。

图片引自https://blog.csdn.net/u011531613/article/details/60469999。

这些推理规则都是永真式，也可以换一个更加方便理解的写法例如第一个规则，假言推理原则可以写成。

虽然推理规则是永真式，但是我们在推论时我们还是需要找到条件为真，结论为真的情况，因为上面提到的，条件为假时，结论和条件没有关系。如果我们在论证的时候被现实的大量可能情况迷惑，那么我们就只看真值表。我们给出条件语句的真值表，再给出结论的真值表，给出各种命题真值出现的所有情况，因为推理规则是永真的，条件语句能找到为真的值，那么这种情况下结论就一定为真。

另外，提一下全称命题和存在命题。

当我们说一个全称命题是对的，那么其所有情况都是对的，反而言之想要证明一个全称命题为假，只需要一种情况为假。这里不禁要赞颂一下科学。要证明一个科学理论，那么这个理论就必须要解释所有的相关现象。要推翻一个科学理论只需要一个小小的，不符合预期结果的实验就行了，谁去比萨斜塔上面扔两个球都可以推翻欧几里得的权威。

不说题外话了，另外一种存在命题，那么就只需要找一种存在情况。这个也很好理解，不多赘述。

四、证明

也许很多人对数学的定理有一些误解，认为一些很有智慧的伟人不停地想啊想，就得到了轰动数学解的定理。但事实上不是这样，大部分的数学定理都是有一个流程的。

首先，根据观察的现象提出假设，然后试图证明假设。如果没有办法证明这个假设，就想办法去证明假设是错的，如果还是不能证明假设是错的。又回头来寻找假设成立的证明。如此可能要分头证明其是错是对很多次尝试，甚至有不少假说还没有被证明。

证明的方法和技巧有很多，在处理不同问题时可能就会出现许多不同的方法。例如，分情形证明法，其实就是把所以情况列举出来一一证明。这种方法最为直接同时也是最笨滴。

1、存在性证明就分为构造性，和非构造性证明。构造性证明就是暴力的寻找一个存在的可能性，分情况一种一种的去试。非构造性就需要用到一些精彩的手法，例如以下问题。

证明存在无理数 x 和 y 使得x^y是有理数。

首先，是无理数，第一步令 x 是,y 是，x^y=^。这个数字还是难以判断,第二步我们令 x=^,y= 。

于是x^y=(^)^=^2=2 是有理数。如果^是有理数那么就证明成功了，如果是无理数，那么第二步 x 依旧是无理数 y 也是无理数。证明依然成立。

这就是书上的一个非常巧妙的非构造性证明，同时我们利用非构造性证明可以证明一些简单的博弈问题，下面会提到。

2、证明策略

策略这种东西当然不能一股死脑筋的来记住，前人的策略只能借鉴而不能成为解决问题的全部。

一般证明策略为两种，正向推理和反向推理：正向推理也就是直接的推理，我们要充分利用已有的已被证明定理来构造证明。反向推理，我们可以先否定结论，然后反过来推出前提错误（一个命题的真值和它的逆否命题一样）。

我们从反向推理，来解决取石子的博弈问题：我们有15颗石子，A和B每个人只能从当中取出1~3颗石子，最后没有石子取的人失败。假设A先手，不论B怎么取A都可以胜利。

我们想要A一直胜利，那么最后一次B取完之后，还会剩下1~3颗石子被A一次取走。A想要让B留下1~3颗石子，那么在B最后一次取的时候，必须要给他留下4颗石子（如果我们留下了5~6颗石子，那么B就可以取到只剩4颗石子，A就会输）。那么我们怎么保证一定给B留4颗石子呢？那就是A在取的时候剩下5~7颗石子，那就可以直接取到剩下4颗。同理想要让A取的时候是5~7颗石子，那么必须让B取的时候是8颗棋子。那A就是从9~11颗石子中取，那给B留下12颗石子，那么A最开始取3颗石子，剩下12颗。

这就是反向推理的一种应用，我们发现我们将博弈分成了一次一次的推理。

把左边的命题当成P，右边的命题当成Q，这里所有的命题格式都是P→Q。不过左右两边箭头应该是双向的。不过我们就是这样把命题一个一个的推理下去才得出最终的结果。

五、结语

逻辑和推理当中还有许多东西我没有去挖掘，逻辑和证明在有的学校甚至专门开课，哲学，经济学，更不用提数学。我现在都后悔当年在读高中是没有看过逻辑学，不然辩论赛说不定能拿到更好的成绩。最后，我想要总结的是：逻辑和证明这一章给了我很多的思考，这一章才80页，我却看了将近两个月。最后跑到理学院老师那里点通了很多误解和迷津。逻辑学的思想建立起来后，后面的章节都会走起来相对要简单不少。致此。