整数规划之分支定界法

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运筹学之分支定界法

整数规划问题和一般的线性规划问题很类似，唯一的不同点在于可行解必须是整数。

这是因为对于某些实际问题，必须要求全部解或者至少部分解为整数，如，所求的解是人数，机器台数或工厂个数等。

整数规划问题一般被分成如下四个子问题：
1.分支定界法 2.割平面法 3.0—1规划及隐枚举法 4.指派问题
在此只介绍分支定界法。

分支定界法的核心思想就是分枝和剪枝。当我们不考虑所求解必须是整数这个条件时，用单纯形法可求出最优解，但是这个解往往不全是整数，因此我们采用剪枝的方式一点一点缩小范围，直到所求解为整数解。

剪枝：如果某一个子问题无可行解或者最优值小于原来的下界，则称这个分支已经查清，将该支剪掉，不再计算。

现在用以下解题过程为例，做出讲解：

Step 1

暂时不考虑解为整数的条件（考虑B0B_0B0情况），因为我们是在小数解上不断进行改良才最终得到的整数解。

通过单纯形法可以得到B0B_0B0的最优解为（单纯形法在这里不是重点，所以不详细计算）：
x1=2.25，x2=3.75，S0=41.25x_1=2.25，x_2=3.75，S_0=41.25x1=2.25，x2=3.75，S0=41.25

因此AAA式的解上界为41.25，这是因为AAA式的解必定为BBB式解的子解。

Step 2
因为x1x_1x1和x2x_2x2都为小数，因此我们可以任选一个进行分支，也就是运用解必须是整数这一条件加以约束。这里选用x2x_2x2进行分支，即分别添加x2<=3x_2<=3x2<=3和x2>=4x_2>=4x2>=4，这是因为不确定整数解到底在那个方向能取到最优值，因此需要考虑两种情况。因此有如下两式：
分别对两式用单纯形法进行求解得：
B1：x1=3，x2=3且S1=39B2：x1=1.8，x2=4且S2=41B_1：x_1=3，x_2=3且S_1=39\\ B_2：x_1=1.8，x_2=4且S_2=41 B1：x1=3，x2=3且S1=39B2：x1=1.8，x2=4且S2=41
可以看到，B1B_1B1式的解为39，并且可行解为整数解，所以最差最差也是39了，因此原式的下界暂时为39，而41<41.25作为原式的新上界。
Step 3
但是B2B_2B2的解中仍然有小数，所以不能确定最终解是否是39，所以我们要继续对B2B_2B2中的x2x_2x2进行分支，即x2<=1x_2<=1x2<=1和x2>=2x_2>=2x2>=2。将其代入式子条件中进一步进行求解，这里要特别注意不要忘记将之前分支的条件也加进来，如下式，仍然要加入x2>=4x_2>=4x2>=4这一前提条件：

仍然对其使用单纯形法求解(这里已经可以看出分支定界法是多么的麻烦了，单纯形法已经用了太多次了)，得出如下解：
B3：x1=1，x2=40⁄9，S3=365⁄9B4：无可行解B_3：x_1=1，x_2= 40⁄9，S_3=365⁄9\\ B_4：无可行解 B3：x1=1，x2=40⁄9，S3=365⁄9B4：无可行解
因为B3B_3B3的解中仍然有分数，所以不能作为新的下界，但由于365⁄9 < 41所以可以将其作为新的上界。
Step 4
然后按照之前的方法依旧将x2x_2x2进行分支并带入原式中得，并且得出如下解：

可以看出两个解都是整数可行解，对比之前的下界39和上界365⁄9，发现都满足条件，因此可以得出最优解为40。

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