数学猜想验证步骤_观察归纳猜想验证

前言

素材备用

函数中

【倒序相加法】【函数性质的应用】定义在\(R\)上的函数满足\(f(\cfrac{1}{2}+x)+f(\cfrac{1}{2}-x)=2\)

求值：\(f(\cfrac{1}{8})+f(\cfrac{2}{8})+f(\cfrac{3}{8})+\cdots+f(\cfrac{7}{8})=7\)．

分析：由\(f(\cfrac{1}{2}+x)+f(\cfrac{1}{2}-x)=2\)可知，两个自变量之和为\(1\)时，其函数值之和为\(2\)，故\(f(\cfrac{1}{8})+f(\cfrac{1}{8})=2\)，等等，

又由已知可知，\(f(1-x)+f(x)=2\)，令\(x=\cfrac{1}{2}\)，可得\(f(\cfrac{1}{2})=f(\cfrac{4}{8})=1\)，

故\(f(\cfrac{1}{8})+f(\cfrac{2}{8})+f(\cfrac{3}{8})+\cdots+f(\cfrac{7}{8})=7\)．

已知函数\(f(x)=x+sin\pi x-3\)，则\(f(\cfrac{1}{2017})+f(\cfrac{2}{2017})+\cdots\) \(+f(\cfrac{4032}{2017})+f(\cfrac{4033}{2017})\)的值为______.

【观察】：注意到\(\cfrac{1}{2017}+\cfrac{4033}{2017}=\cfrac{4034}{2017}=2\)

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