Semidefinite Programming

给定线性动态系统
x˙=Ax\dot{x}=Ax x˙=Ax
通过找到对称矩阵PPP证明系统的稳定性
ATP+PA≺0P≻0A^TP+PA\prec 0\\ P\succ 0 ATP+PA≺0P≻0
定义稳定矩阵AAA和对称矩阵PPP

A = [-1 2 0;-3 -4 1;0 0 -2];
P = sdpvar(3,3);

设置松弛的约束条件

F = [P>=0, A'*P+P*A<=0];

Strict inequalities simply does not make much sense in continuous numerical optimization

为了避免得到零解，可以对PPP阵加入约束条件P⪰IP\succeq IP⪰I(which additionally ensures we obtain a strictly feasible solution)

F = [F, trace(P)==1];

查看约束

求解模型

optimize(F);
P_feasible=value(P);

检验约束条件是否满足

check(F)

针对PPP中的某个元素进行求解

F = [P>=0, A'*P+P*A<=0, trace(P)==1];
optimize(F, P(1, 1));

设置非对角线元素为非负

F = [P >= 0, A'*P+P*A <= 0, trace(P)==1, P([2 3 6])>=0];
optimize(F,P(1,1));

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