定积分的计算（换元法）习题

前置知识：定积分的计算（换元法）

习题1

已知 f ( x ) f(x) f(x)，计算 ∫ a b f ′ ( 2 x ) d x \int_a^bf'(2x)dx ∫abf′(2x)dx

解：原式 = 1 2 ∫ a b f ′ ( 2 x ) d ( 2 x ) = 1 2 f ( 2 x ) ∣ a b = 1 2 [ f ( 2 b ) − f ( 2 a ) ] =\dfrac 12\int_a^bf'(2x)d(2x)=\dfrac 12f(2x)\bigg\vert_a^b=\dfrac 12[f(2b)-f(2a)] =21∫abf′(2x)d(2x)=21f(2x) ab=21[f(2b)−f(2a)]

习题2

计算半径为 a a a的圆 x 2 + y 2 ≤ a 2 x^2+y^2\leq a^2 x2+y2≤a2的面积 S S S

解：
\qquad 根据定积分的意义，有

S = 4 ∫ 0 a a 2 − x 2 d x S=4\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx S=4∫0aa2−x2 dx

\qquad 令 x = a sin ⁡ t x=a\sin t x=asint，则 t ∈ [ 0 , π 2 ] t\in[0,\dfrac{\pi}{2}] t∈[0,2π]对应 x ∈ [ 0 , a ] x\in[0,a] x∈[0,a]， t = 0 t=0 t=0对应 x = 0 x=0 x=0， t = π 2 t=\dfrac{\pi}{2} t=2π对应 x = a x=a x=a，则

∫ 0 a a 2 − x 2 d x = ∫ 0 π 2 a 2 cos ⁡ 2 t d t = a 2 2 ∫ 0 π 2 ( 1 + cos ⁡ 2 t ) d t = a 2 2 ( t − sin ⁡ 2 t 2 ) ∣ 0 π 2 = π 2 a 2 \int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}a^2\cos^2 tdt=\dfrac{a^2}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos 2t)dt=\dfrac{a^2}{2}(t-\dfrac{\sin 2t}{2})\bigg\vert_0^{\frac{\pi}{2}}=\dfrac{\pi}{2}a^2 ∫0aa2−x2 dx=∫02πa2cos2tdt=2a2∫02π(1+cos2t)dt=2a2(t−2sin2t) 02π=2πa2

\qquad 所以

S = 4 × π 4 a 2 = π a 2 S=4\times\dfrac{\pi}{4}a^2=\pi a^2 S=4×4πa2=πa2

总结

熟练掌握第一类换元法和第二类换元法，这类题目一般都可以轻松解决。

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