《离散数学及其应用》读书笔记【一】逻辑和证明

对于一个经常计算机打交道的程序员来说有两门知识及其重要一个是离散数学一个是数据结构

离散数学让我们可以用最接近计算机运行的方式去处理编写代码对思路有着及其重要的指导作用
数据结构则可以让我们了解计算机运行时数据的结构更好的处理问题等

最近这段时间正好有空就把《离散数学及其应用这本书》打算看几遍看的是中文版对比英文版有很大删减

在接触离散数学前对或与非已经有很多的接触但并未正式的系统学习所以今年计划把一些基础性的知识补习一下为以后发展做好基础知识储备

命题逻辑

命题
命题：是一个或真或假的陈述句只有一种状态
用字母代表命题元（命题变量）

析取合取非 （或与非）
可以简单的记忆为（具体真值可以参考真值表）：
合取：当两者同真时才为真（真1）符号：∧（当初记忆时为了和∨区别合字上面的的人正好和∧相似这样就很容易记住了）
析取：有一者为真即为真（真3）符号：∨
非：非真为假非假为真（取反）（真2）符号：¬
异或：两者相反即为真（真2 =析取-合取）符号：¬

条件运算
可以简单的记忆为（具体真值可以参考真值表）：
单条件运算：p→q时只有p为真q为假时为假其余为真（真3）符号：→（读作:若…则 …）
p→q：逆倒置反（包含）
逆: q→p （pq位置互换（逆））,
倒置 : ┐q →┐p（先pq位置互换在取反（与p→q总是相同的真值））
反:┐q→┐p（取反）

双条件运算：p↔q是当两者状态相同时为真其余为假亦p,q等价（真2）符号：⇔（读作:当且仅当）

逻辑运算优先级（从高往低）
非合取析取单条件双条件 (建议用括号包围)

命题等价

定义1：复合命题称为永真式（或重言式）真值永远为假的复合命题称为矛盾
定义2：（等价的符号<=>）
各种逻辑等价的关系推导及罗列

对与各种逻辑等价不建议死记学过命题逻辑后会很容易的推导出来
这里对吸收律做证明

1.p<=>p∨F
2.F<=>(q∧┐q)
3.p<=>p∨F<=>p∨(q∧┐q)<=>(p∨q)∧(p∨┐q)
4.p∧(p∨q)<=>(p∨q)∧(p∨┐q)∧(p∨q)<=>(p∨q)∧(p∨┐q)<=>p

逻辑等价：在所有可能的情况下都有相同真值的两个复合命题称为逻辑等价（一个简单的例子：p→q和┐p∨q逻辑等价）
析取范式，合取范式的定义

谓词和量词

量词用来定义在域内取值范围（可看做作用变量的范围；量词描述范围可以理解为程序中的数据类型等描述范围的概念）
谓词用来描述（可看做方法）

量词的分类：
全称量词即所有（符号表示：∀）
存在量词即存在（符号表示：∃）（唯一量词不常用：符号表示： ∃!）
量词的优先级：比逻辑运算具有更高的优先级
量词的德摩根定律
量词的语义化翻译
量词的嵌套

推理规则

定义1：命题逻辑中的一个论证是一连串的命题除了论证中最后一个命题外都叫前提最后的那个命题叫做结论当它所有的前提为真意味着结论为真时一个论证是有效的

推理规则表

带量词的推理规则：
全称例示：从全部得出任意个体（由大见小）
全称生成：从任意个体得出全部（由小见大）
存在例示：从存在得出某个个体（部分得出个体）
存在生成：从某个个体得出存在（个体得出部分）

一些证明及推理规则的展示

这里就不在赘述