一般性假币称重鉴别问题

问题重述

设有nn枚硬币，其中仅有一枚假币，在已知或未知假币与真币之间重量关系两种情况下，通过无砝码天平称重的方法鉴别假币，求所需的最少称重次数。
问题分析

此问题是经典的信息论算法问题，许多大公司都曾以此作为面试、笔试题来考核员工。从信息论角度看，“有nn枚硬币，其中仅有一枚假币”发生概率为P=1nP = \frac{1}{n}，“假币与真币之间重量关系未知”发生概率为P=12P = \frac{1}{2}，为了确定哪一枚假币，即要消除上述事件的联合不确定性。
又因为两事件独立，因此有I1=logn+log2=log2n{I_1} = \log n + \log 2 = \log 2n比特；用天平称重，有三种可能：平衡、左倾、右倾，三者等概率，为P=13P = \frac{1}{3}，因此天平称重一次消除的不确定性为I2=log3{I_2} = \log 3比特，所以称重次数至少为I1I2=log2nlog3\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}} = \frac{{\log 2n}}{{\log 3}}次。
解题思路

【问题一】当n=12n = 12 时
将12个硬币编号为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12
称重安排如下表：

称重结果表示为：0：平衡 1：左倾 2：右倾
可以得到如下表结果：

同理可用矩阵表示3次称重的安排，矩阵上方为硬币序号，矩阵的行为3次称重时矩阵的放置位置，1表示放到左盘，2表示放到右盘，0表示不参与称重。

123456789101112⎛⎝⎜110101102100221211212210002021022020⎞⎠⎟

\begin{array}{l}{\kern 10pt}1{\kern 11pt} 2{\kern 10pt} 3{\kern 10pt} 4{\kern 10pt} 5{\kern 10pt}6{\kern 10pt}7{\kern 11pt}8{\kern 10pt}9{\kern 7pt} 10{\kern 6pt} 11{\kern 5pt} 12\\ \left( {\begin{array}{*{20}{l}} 1&1&1&1&2&2&2&2&0&0&0&0\\ 1&0&0&0&2&1&1&1&0&2&2&2\\ 0&1&2&0&1&1&2&0&2&1&2&0 \end{array}} \right) \end{array}
由表格与矩阵，发现：如果检测结果与矩阵的某列符合，则对应序号的硬币即为假币，且重量较重；如果检测结果不在上述矩阵的列中，将1、2互换，得到假币对应序号，重量较轻。例如，若称重结果为110，则1号为假币，且重量较重；若称重结果为201，将1与2互换，得到102，则3号为假币，且重量较轻。

【问题二】当n=39n{\rm{ = }}39时
查阅资料可得，kk次称重最多可以在3k−32\frac{{{3^k} - 3}}{2}个硬币中找到不同的硬币，并判断其轻重。已知硬币数量为39，可求得需要称量的次数k=5k{\rm{ = }}5
1. 编码
  以称量次数为编码长度，使用0、1、2排列组合进行编码，再去掉全为0、全为1和全为2，可知一共有3k−3{3^k} - 3个编码。在一个编码中，第一处相邻数字不同的情况是01、12或20，则我们称它为正序码，如11010；否则为逆序码，如11210；在长度为的编码中，正序码和逆序码的数量相等，为3k−32\frac{{{3^k} - 3}}{2}个。
2. 赋值
  如果把一个正序码的0换成1，1换成2，2换成0，则它认为正序码。由此，将正序码每3个分为一组，例如11010、22121、00202。7将正序码的0与2互换，即可得到一个逆序码，因此每枚硬币均有一个正序码一个逆序码。
3. 称重
  第一次，将正序码第一位为1的硬币放在左侧，为2的硬币放在右侧，其余不参与称重，如果天平平衡记为0，左倾记为1，右倾记为2；
  第二次，将正序码第二位为1的硬币放在左侧，为2的硬币放在右侧，其余不参与称重；
  每轮如此，重复次，结果得到一个位编码。如果此编码为某个硬币的正序码，则这个硬币比其余硬币重；如果此编码为某个硬币的逆序码，则这个硬币比其余硬币轻。
可视化演示
以n=12n=12为例
（1）编号（假设6号硬币为假币）

（2）赋值

123456789101112⎛⎝⎜110101102100221211212210002021022020⎞⎠⎟

\begin{array}{l}{\kern 10pt}1{\kern 11pt} 2{\kern 10pt} 3{\kern 10pt} 4{\kern 10pt} 5{\kern 10pt}6{\kern 10pt}7{\kern 11pt}8{\kern 10pt}9{\kern 7pt} 10{\kern 6pt} 11{\kern 5pt} 12\\ \left( {\begin{array}{*{20}{l}} 1&1&1&1&2&2&2&2&0&0&0&0\\ 1&0&0&0&2&1&1&1&0&2&2&2\\ 0&1&2&0&1&1&2&0&2&1&2&0 \end{array}} \right) \end{array}
（3）称重
将正序码第一位为1的硬币放在天平的左侧，为2的放在右侧，为0的放在旁边：

将正序码第二位为1的硬币放在天平的左侧，为2的放在右侧，为0的放在旁边：

将正序码第三位为1的硬币放在天平的左侧，为2的放在右侧，为0的放在旁边：

结果与事先挑选的6号硬币一致
附录
称球通解问题的证明
摘自The Problem of the Pennies, F. J. Dyson, The Mathematical Gazette , Vol. 30, No. 291 (Oct., 1946), pp. 231-234

引理1：在多于2个的一堆球，已知次品在其中，称k次可以并最多在3^k个半确定的球中找出次品，并且知道其轻重。
用数学归纳法，当k=1k=1。3个半确定的球，一定至少有两个属于同一类，比如说疑重球，将这两个上天平，重的那个就是次品，如果平衡，外边的那个就是次品，而且从它的类别知道这次品是较重还是较轻。验证正确。
假设结论对k−1k-1次正确。将不多于3k3^k个半确定的球三等分，如果不能够等分，除天平两边要等数外，三方都不多于3(k−1)3^(k-1)个球，且使得两边共有偶数个疑重球，记为2a2a个。这总是可以做到的。因为我们可以把天平上“不齐整”的球和外面异类的球对调。这样天平左右各有aa个疑重球和3k−1−a3^{k-1}-a个疑轻球。这一般有多种可能的aa值满足要求，任取一个都行。这时如果左边重，左边的aa个疑重球和右边的3k−1−a3^{k-1}-a个疑轻球，共3k−13^{k-1}个半确定球有嫌疑，其他都是正品。如果右边重，同理将嫌疑缩小到3k−13^{k-1}个半确定球。如果平衡，嫌疑在外面的3k−13^{k-1}个半确定球中。如果这嫌疑是1个或2个半确定球，可以用一个正品与其中一个称一次解决，其他情况我们已知用k−1k-1次可以解决不多于3k−13^{k-1}个半确定的球。证毕。
引理2：已知次品在其中，加一个已知的正品球称k次，可以并最多在3k+12\frac{3^{k+1}}{2}个球中找出次品，但有且仅有一种情况不知其次品的轻重。
在k=1k=1情况，有2个球，取一个与正品球上天平，如果平衡，次品在外面，但不知它比正品轻还是重，注意这是归纳证明中仅有的情况。如果只有1个球，它就是次品了，称一次可以知道比正品轻了还是重。
假设结论对k−1k-1次正确。考虑第一次天平称量，一边取3k−1−12\frac{3^{k-1}-1}{2}个加上一个正品球，另一边取3k−1−12\frac{3^{k-1}-1}{2}个球。我们知道这次称量以后，如果天平平衡，那么嫌疑在外面。余下k−1k-1次可以解决这里的不超过3k−1−12\frac{3^{k-1}-1}{2}个球，有且仅有一种情况不知其次品的轻重。如果天平不平衡，天平的两边都是半确定的球。由引理1知道，余下k−1k-1次可以解决这里的3k−13^{k-1}个球。因为这个数是奇数，所以我们必须在第一次天平称量时再加上一个已知的正品球。因此称kk次，可以并最多解决3k+12\frac{{{3^{k + 1}}}}{2}个球。证毕。
定理：在一堆等重球中有一个重量不同的次品球，用天平称kk次找出来，这堆球最多且可以是3k−12\frac{3^{k-1}}{2}个球。
在第一次称量我们最多可以将3k−1−13^{k-1}-1个球两等分放在天平上，如果不平衡，由引理1，可以再称k−1k-1次解决。如果平衡，天平这里都是已知球，由引理2，可以再称k−1k-1次解决外面的3k−1+12\frac{3^{k-1}+1}{2}个球。所以总共可以解决3k−12\frac{3^{k-1}}{2}个球。证毕。

程序代码

package com.yrwan.findCoin;import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Scanner;public class Main {static int round = 1;  static int maxSteps;  public static void run(Status root, List<Status> list) {  //求解 List<Status> newlist = new ArrayList<Status>();   for (int i=0; i<list.size(); i++) {  Status status = list.get(i);  status.produceBalances();  for (int j=0; j<status.bls.size(); j++) {  Balance bl = status.bls.get(j);  bl.weight();  if (root.succeed()) {  return;  }  if (bl.out1.isUnknown()) newlist.add(bl.out1);  if (bl.out2.isUnknown()) newlist.add(bl.out2);  if (bl.out3.isUnknown()) newlist.add(bl.out3);  }  }  round++;  run(root, newlist);   }  public static void print(Status st, int depth) { //输出结果  String indent="";  for (int i=0; i<depth-1; i++) indent = indent+"t";   Balance bl=null;  for (int i=0; i<st.bls.size(); i++)   if (st.bls.get(i).unresolved==0) bl=st.bls.get(i);  if (bl!=null) {  if (depth>maxSteps) maxSteps=depth;  System.out.println(indent + "第" + depth + "步称重: " + bl + "rn");  System.out.println(indent + "如果一样重: " + bl.out1 + (bl.out1.getConclusion()==Status.RESOLVED?"  *解决*":(bl.out1.getConclusion()==Status.REDICULOUS?"  ×不可能×":"")) + "rn");  print(bl.out1, depth+1);  System.out.println(indent + "如果左边重: " + bl.out2 + (bl.out2.getConclusion()==Status.RESOLVED?"  *解决*":(bl.out2.getConclusion()==Status.REDICULOUS?"  ×不可能×":"")) + "rn");  print(bl.out2, depth+1);  System.out.println(indent + "如果右边重: " + bl.out3 + (bl.out3.getConclusion()==Status.RESOLVED?"  *解决*":(bl.out3.getConclusion()==Status.REDICULOUS?"  ×不可能×":"")) + "rn");  print(bl.out3, depth+1);  }  }  public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);  System.out.println("请输入硬币个数：");  int n = sc.nextInt();  sc.close();Status root = new Status(n);  ArrayList<Status> list = new ArrayList<Status>();  list.add(root);  run(root, list);  System.out.println("***** 求解步骤*****");  maxSteps = 0;  print(root, 1);  System.out.println("***** 最少" + maxSteps + "步可找出假币*****");  }
}

package com.yrwan.findCoin;public class Balance {public int[] data;  public Status in,out1,out2,out3;   public int unresolved = 3;  public Balance(int[] data) {  this.data = data.clone();  }  public void weight() {//称重量，推理出三种可能的结果   int[] temp;  // 一样重   temp = in.data.clone();  for (int i=1; i<4; i++) { //所有参与称重的硬币都移入正常硬币集合   temp[0] = temp[0] + data[i] + data[i+4];  temp[i] = temp[i] - data[i] - data[i+4];  }  out1 = new Status(temp);  out1.addParent(this);  //左边重   temp = in.data.clone();  for (int i=1; i<4; i++) {  temp[0] = temp[0] + temp[i] - data[i] - data[i+4]; //未参与称重的硬币  -->> 正常硬币   }  temp[0] += data[3] + data[6]; //左边的疑似轻硬币、右边的疑似重硬币  -->> 正常硬币   temp[1] = 0;  temp[2] = data[1] + data[2]; //左边的不明轻重硬币移入疑似重硬币集合   temp[3] = data[5] + data[7]; //右边的不明轻重硬币移入疑似轻硬币集合   out2 = new Status(temp);  out2.addParent(this);  //右边重   temp = in.data.clone();  for (int i=1; i<4; i++) {  temp[0] = temp[0] + temp[i] - data[i] - data[i+4]; //未参与称重的硬币  -->> 正常硬币   }  temp[0] += data[2] + data[7]; //左边的疑似重硬币、右边的疑似轻硬币  -->> 正常硬币   temp[1] = 0;  temp[2] = data[5] + data[6]; //右边的不明轻重硬币移入疑似重硬币集合   temp[3] = data[1] + data[3]; //左边的不明轻重硬币移入疑似轻硬币集合   out3 = new Status(temp);  out3.addParent(this);  }  public String toString(){  return "（" + (data[0]>0?"正常硬币×"+data[0]+"个 ":"") + (data[1]>0?"不明硬币×"+data[1]+"个 ":"")   +(data[2]>0?"疑似重硬币×"+data[2]+"个 ":"") + (data[3]>0?"疑似轻硬币×"+data[3]+"个 ":"")      + "） --天平-- （"  + (data[4]>0?"正常硬币×"+data[4]+"个 ":"") + (data[5]>0?"不明硬币×"+data[5]+"个 ":"")   +(data[6]>0?"疑似重硬币×"+data[6]+"个 ":"") + (data[7]>0?"疑似轻硬币×"+data[7]+"个 ":"") + "）";     }  public void prop() {  if (unresolved <= 0) return;  unresolved--;  if (unresolved == 0) in.setConclusion(Status.RESOLVABLE);  }
}

package com.yrwan.findCoin;import java.util.ArrayList;
import java.util.List;public class Status {public static int RESOLVED=1, UNKNOWN=2, REDICULOUS=3, RESOLVABLE=4;  public int count=0;  public int[] data;  public List<Balance> parents = new ArrayList<Balance>();  public List<Balance> bls = new ArrayList<Balance>();  private int conclusion;  public Status(int c) {  count = c;  int[] data1 = {0,c,0,0};  data = data1;  int conc = data[0]<count-1?UNKNOWN:(data[0]==count-1?RESOLVED:REDICULOUS);  setConclusion(conc);  }  public Status(int[] is) {  data = is;  for (int i=0; i<is.length; i++) count+=is[i];  int conc = data[0]<count-1?UNKNOWN:(data[0]==count-1?RESOLVED:REDICULOUS);  setConclusion(conc);  }  public void addParent(Balance bl) {  parents.add(bl);  if (conclusion==RESOLVED || conclusion==RESOLVABLE || conclusion==REDICULOUS) bl.prop();  }  public String toString() {  return "正常" + data[0] + "、不明" + data[1] + "、或重" + data[2] + "、或轻" + data[3];  }  public void setConclusion(int conc) {  if (conclusion == conc) return;  conclusion = conc;  if (conclusion==RESOLVED || conclusion==RESOLVABLE || conclusion==REDICULOUS)   for (int i=0; i<parents.size(); i++)  parents.get(i).prop();  }  public int getConclusion() {return conclusion;}  public boolean succeed() {return conclusion==RESOLVED || conclusion==RESOLVABLE;}  public boolean isUnknown(){return conclusion==UNKNOWN;}  public void produceBalances() {//得到当前状况下所有可能的称重方案   List<int[]> bldata = getBalanceDataArray(data);  bls = new ArrayList<Balance>();  for (int i=0; i<bldata.size(); i++) {  Balance bl = new Balance(bldata.get(i));  bl.in = this;  bls.add(bl);  }  }  private List<int[]> getBalanceDataArray(int[] src) {  List<int[]> list = new ArrayList<int[]>();  list.add(new int[src.length*2]);  return getBalanceDataArray(src,0,list);  }  private List<int[]> getBalanceDataArray(int[] src, int id, List<int[]> list) {  int total=0,left,right;  if (id>=src.length) {  for (int i=list.size()-1; i>=0; i--) {  int[] is = list.get(i);  left=0;  right=0;  for (int j=0; j<src.length; j++) left+=is[j];  for (int j=src.length; j<src.length*2; j++) right+=is[j];  if (left!=right || left==0 || is[0]>0&&is[is.length/2]>0)  list.remove(i);  }  return list;  }  List<int[]> r = new ArrayList<int[]>();  for (int i=0; i<src.length; i++) total += src[i];  int half = total/2;  for (int i=0; i<list.size(); i++) {  int[] is = list.get(i);  left=0;  right=0;  for (int j=0; j<src.length; j++) left+=is[j];  for (int j=src.length; j<src.length*2; j++) right+=is[j];  for (int j=0; j<=Math.min(half-left, src[id]); j++) {  for (int k=0; k<=Math.min(half-right, src[id]-j); k++) {  int[] iis = list.get(i).clone();  iis[id] = j;  iis[id+src.length] = k;  r.add(iis);  }  }  }  return getBalanceDataArray(src,id+1,r);  }
}

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