2.线性组合、张成的向量空间

2.1线性组合

在二维空间中有两个特殊的向量，就是图中透明度较低的红绿两个向量（之后会讲，那是一组基向量），空间中向量[3,-2]可以看作是两个基向量i,j先分别缩放3倍和-2倍，然后相加之后所得（相加请参考上述向量相加部分内容画的那个三角形）。缩放向量并且相加这一个概念至关重要。两个数乘向量的和被称为这两个向量的线性组合。

2.2基向量

在2.1章节我们提到的i，j是二维向量空间的一组基向量，那么这就说明还有其他组，我们完全可以选择不同的基向量，获得一个合理的新坐标系。
比如下面这样（透明度较低的红蓝两个向量是基向量）：

或者是表达这种向量：

通过改变基向量前面的标量av+bw，中的标量a和b的大小，我们就可以得到很多向量，而上图中向量就在基向量v和w的坐标系中，他的坐标记作（-0.8，1.3）。值得注意的是，同一个向量在不同的基向量下（比如上文提到的i和j）他的坐标是不一样的。

图中在这个这个坐标系中他的坐标应该表示为（3.1，-2.9），两种情况表示的变换关系完全不同（个人理解：他们分别按照不同的系数对基向量进行缩放并相加，因此也有了后面一句话）。每当我们用数字描述向量时，它都依赖于我们正在使用的基

在大部分情况下，选定一对初始的向量，就可以到达平面中每一个点。
但是也有特殊情况，
1’ 当两个初始向量恰好共线时，所产生的向量固定在了一条过原点的直线上，比如：

2’ 选定的两个向量都是零向量。那么组成的就是一个点，这个点是原点。

2.3向量空间

所有可以表示为给定向量线性组合的向量的集合叫做给定向量张成的空间

对于大部分二维向量，他们张成的空间就是所有二维向量的集合
当他们共线时，他们张成的空间是终点落在一条直线上的向量的集合

非常重要的一句话：线性代数紧紧围绕向量加法和数乘，那么两个向量张成的空间仅通过向量加法和向量数乘这两种基础运算。

上面讨论的都是二维向量，那么三维向量就是选取三个向量u,v,w,通过他们的线性组合au+bv+cw张成向量空间。

2.3线性相关

举例：在3维空间中，假如选定的3个基向量中有两个向量是属于同一直线上的，那么他们张成的空间其实就是一个平面，并不是三维的。那么属于同一直线上的那两个向量，删掉其中一个并不会减小张成的空间。当这种情况发生的时候，我们就称他们是线性相关的
换种说法就是，其中一个向量可以表示为其他向量的线性组合，因为这个向量已经落在其他向量张成的空间之中。
另一方面，如果所有的向量都给张成的空间增添了新的维度，他们就被称为线性无关的。（正好和删除一个不会减小张成空间相对。）

2.3向量与点

假如在某个平面中向量画出来是张成这样的：

密密麻麻全是向量，为了让他们看上去不那么拥挤，我们通常用向量的终点代表该向量。。变成下面这样：

所以当你看比较少的向量的时候就看成带箭头的那个线的形式，比较多的向量的时候就看成点就可以了。

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2.线性组合、张成的向量空间

2.1线性组合

2.2基向量

2.3向量空间

2.3线性相关

2.3向量与点

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