1 有理函数的积分（多项式除以多项式）
- 引入
- 五步曲
- (Bx+C)/(x2+px+q)(Bx+C)/(x^2+px+q)(Bx+C)/(x2+px+q)型计算
- x2/(a2+x2)2x^2/(a^2+x^2)^2x2/(a2+x2)2型计算
- 1/(a2+x2)21/(a^2+x^2)^21/(a2+x2)2型计算
- (Bx+C)/(x2+px+q)2(Bx+C)/(x^2+px+q)^2(Bx+C)/(x2+px+q)2型计算
- (Bx+C)/(x+m)(x+n)2(Bx+C)/(x+m)(x+n)^2(Bx+C)/(x+m)(x+n)2
- (Bx+C)/(x+n)2(x2+px+q)(Bx+C)/(x+n)^2(x^2+px+q)(Bx+C)/(x+n)2(x2+px+q)型计算---五部曲完整展示
- 常规解法例题
- 有理函数的一些特殊解法
- 其他形式转换为有理函数积分
- - 可以看成f(ex)f(e^x)f(ex)的被积函数
  - 换元法打开局面
- 分子为1时，可以考虑上下同乘，再把分子凑进去
- √x√x√x 常可以凑进dx中
2 三角有理函数的积分
- 通用方法——万能公式换元法
- 使用“缩分母”技巧
- cosx凑成dsinx，把sinx看做整体t，化为关于t的有理函数积分
- −sinx-sinx−sinx凑成dcosxdcosxdcosx，把cosxcosxcosx看做整体t，化为关于t的有理函数积分
- 分子分母同时除以cosxcos^xcosx，出现sec2xsec^2xsec2x，凑成dtanxdtanxdtanx
- 形如(Asinx+Bcosx)/(Csinx+Dcosx)(Asinx+Bcosx)/(Csinx+Dcosx)(Asinx+Bcosx)/(Csinx+Dcosx)，假设“分子=p×分母+q×分母的导数”利用对应系数求出p、q
- 出现不同角度，要先想办法统一角度（一般用二倍角公式）
- sinax×cosbxsinax×cosbxsinax×cosbx利用积化和差公式
- 高次反复降次
- 改造分子
3 换元法和分部积分
- 换元法（最后记得换回去）
- - 根式整体换元
  - 三角换元
- 分部积分
- 换元法+分部积分
- 分部积分降阶
- 分部积分实现积分抵消
- 对复杂因式求导
4 变限积分概念题
- 存在定理
- 变上限积分函数天生连续，不可能有间断点
综合计算
- 有1+x^2^的令x=tant，t=arctanx；三角函数和指数函数相乘的积分，需要连续两次分部积分
- 需要分部积分时，换元后可以不直接导出来
- 含e^x^考虑前后抵消，把另一部分凑进dx

1 有理函数的积分（多项式除以多项式）

视频链接：https://www.bilibili.com/video/BV1f54y1G7gv?spm_id_from=333.999.0.0

引入

真分式：分子最高次数小于分母
假分式：分子最高次数大于等于分母

五步曲

① 如果是假分式，通过多项式除法变成多项式与真分式之和
② 将该真分式的分母进行因式分解（一直分解到无法分解）
③ 裂项

分母中含有(x−a)k(x-a)^k(x−a)k，则裂项后的式子一定含有A1/(x−a)+A2/(x−a)2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+Ak/(x−a)kA1/(x-a)+A2/(x-a)^2+······+Ak/(x-a)^kA1/(x−a)+A2/(x−a)2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+Ak/(x−a)k
分母中含有(x2+px+q)k（已经无法再因式分解）(x^2+px+q)^k（已经无法再因式分解）(x2+px+q)k（已经无法再因式分解），所以这里的p2−4q<0p^2-4q<0p2−4q<0则裂项后的式子中一定含有(B1+C1)/(x2+px+q)+(B2+C2)/(x2+px+q)2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(Bk+Ck)/(x2+px+q)k(B1+C1)/(x^2+px+q)+(B2+C2)/(x^2+px+q)^2+······+(Bk+Ck)/(x^2+px+q)^k(B1+C1)/(x2+px+q)+(B2+C2)/(x2+px+q)2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(Bk+Ck)/(x2+px+q)k
k为多少就能裂出多少项，详见五部曲完整展示部分

④ 重新通分，根据“通分之后的分子与原被积函数的分子应该相等”的原则，列出待定系数所满足的方程，解出待定系数，将真分式分解成各个基本分式之和

⑤ 对解出后的 A/(x−a)kA/(x-a)^kA/(x−a)k 进行积分十分容易
对(Bx+C)/(x2+px+q)k(Bx+C)/(x^2+px+q)^k(Bx+C)/(x2+px+q)k进行积分，在考研范围内，k一般只有1和2的情况，只需会积(Bx+C)/(x2+px+q)(Bx+C)/(x^2+px+q)(Bx+C)/(x2+px+q) 和 (Bx+C)/(x2+px+q)2(Bx+C)/(x^2+px+q)^2(Bx+C)/(x2+px+q)2即可

(Bx+C)/(x2+px+q)(Bx+C)/(x^2+px+q)(Bx+C)/(x2+px+q)型计算

改造分子，使其凑出分母的导数，拆成两项积分的和
前一项将分子放进dx里面，用“分母分之一”的积分公式变成ln(分母)+C
后一项将分子的常数提出，分母配方凑成“平方+平方”，用“平方+平方分之一”的积分公式变成(1/a)×arctan(x/a)(1/a)×arctan(x/a)(1/a)×arctan(x/a)+C

x2/(a2+x2)2x^2/(a^2+x^2)^2x2/(a2+x2)2型计算

使用分部积分法降次

1/(a2+x2)21/(a^2+x^2)^21/(a2+x2)2型计算

归结于为计算上方的结论

(Bx+C)/(x2+px+q)2(Bx+C)/(x^2+px+q)^2(Bx+C)/(x2+px+q)2型计算

改造分子，拆分成两个积分，
前一个积分直接用积分公式
后一个积分，对分母进行配方换元，归结于为计算上方的结论

(Bx+C)/(x+m)(x+n)2(Bx+C)/(x+m)(x+n)^2(Bx+C)/(x+m)(x+n)2

(Bx+C)/(x+n)2(x2+px+q)(Bx+C)/(x+n)^2(x^2+px+q)(Bx+C)/(x+n)2(x2+px+q)型计算—五部曲完整展示

题目

因式分解

裂项

通分（解出ABCD）

求解

常规解法例题

有理函数的一些特殊解法

根据分母改造分子

倒代换
一般适用于分母次数比分子高很多的情况

整体思想

解决(1±x2)/(1+kx2+x4)(1±x^2)/(1+kx^2+x^4)(1±x2)/(1+kx2+x4) 类型的题目：上下最高次差两倍，可以同除以低次项

其他形式转换为有理函数积分

可以看成f(ex)f(e^x)f(ex)的被积函数

然后分子分母同时除以t2t^2t2的方法做即可

换元法打开局面

分子为1时，可以考虑上下同乘，再把分子凑进去

√x√x√x 常可以凑进dx中

2 三角有理函数的积分

视频链接：https://www.bilibili.com/video/BV1MN411Z7EH?spm_id_from=333.999.0.0

通用方法——万能公式换元法

令tan(x/2)=ttan(x/2)=ttan(x/2)=t，反解出x=2arctantx=2arctantx=2arctant故dx=[2/(1+t2)]dtdx=[2/(1+t^2)]dtdx=[2/(1+t2)]dt
且可得sinx=2t/(t2+1)sinx=2t/(t^2+1)sinx=2t/(t2+1)cosx=(1−t2)/(1+t2)cosx=(1-t^2)/(1+t^2)cosx=(1−t2)/(1+t2)，将以上三个式子全部（dx也要代入）代入原积分，化为一个关于t的有理函数积分，积出来以后将t=tan(x/2)t=tan(x/2)t=tan(x/2)代回即可

适用于次数低，最好为一次的积分

使用“缩分母”技巧

如果分母为1±cosx1±cosx1±cosx或1±sinx1±sinx1±sinx的积分，可以分子分母同时乘以共轭表达式，使分母从两项变为一项（分母项数多很难处理）
利用二倍角公式1+cosx=2cos2(x/2)1+cosx=2cos^2(x/2)1+cosx=2cos2(x/2)也能将分母合二为一

利用辅助角公式缩分母

使用共轭表达式

cosx凑成dsinx，把sinx看做整体t，化为关于t的有理函数积分

−sinx-sinx−sinx凑成dcosxdcosxdcosx，把cosxcosxcosx看做整体t，化为关于t的有理函数积分

分子分母同时除以cosxcos^xcosx，出现sec2xsec^2xsec2x，凑成dtanxdtanxdtanx

常用公式：tan2x=sec2x−1tan^2x=sec^2x-1tan2x=sec2x−1

形如(Asinx+Bcosx)/(Csinx+Dcosx)(Asinx+Bcosx)/(Csinx+Dcosx)(Asinx+Bcosx)/(Csinx+Dcosx)，假设“分子=p×分母+q×分母的导数”利用对应系数求出p、q

出现不同角度，要先想办法统一角度（一般用二倍角公式）

sinax×cosbxsinax×cosbxsinax×cosbx利用积化和差公式

高次反复降次

改造分子

3 换元法和分部积分

视频链接：https://www.bilibili.com/video/BV1J54y1L7b7?spm_id_from=333.999.0.0

换元法（最后记得换回去）

根式整体换元

令整个根号下为t，解出t关于x的表达式替换掉dx（dx要不要解出来视情况而定），而后直接分部积分
一般用于根号下是一次函数，一次函数除以一次函数，指数函数，指数函数除以指数函数的情况

令x=t6x=t^6x=t6，dx=6t5dx=6t^5dx=6t5

有时不用换元会更简便

三角换元

只有平方项和常数项时，直接换元

含有一次项时，通过配方消去一次项

有时不用三角换元会更简便

上题用到结论 ln[x+√(1+x2)]’=1/√(1+x2)ln[x+√(1+x^2)]’=1/√(1+x^2)ln[x+√(1+x2)]’=1/√(1+x2)

分部积分

反对幂三指，谁在后，就把谁凑到d里面去
在d后面增减一个适当的常数，可以使得分部积分后的式子更加简洁

被积函数是三角函数和指数函数的乘积时，需要连续两次进行分部积分，出现“积分重现”后问题得以解决，两次的分部积分凑到后面的函数都必须是同一类函数

换元法+分部积分

先换元再分部积分

有些时候不要把换好元的dt解出来，让被积函数保持纯粹，主要是只有反、对函数的积分

分部积分降阶

想办法将分母凑到d后面，然后分部积分

强制凑微分，把分子凑成分母的导数，把整体凑进去

分部积分实现积分抵消

拆分成两个积分的和，其中一个不动，另一个分部积分，可能就会出现相互抵消，此类题一般含有exe^xex

形成ex[f(x)+f′(x)]e^x[f(x)+f'(x)]ex[f(x)+f′(x)]那么积分就一定是exf(x)+Ce^xf(x)+Cexf(x)+C

含有e^sinx 、e^x/2 、lnx 等也可以用积分抵消

没有降阶的固定，降阶的进行分部积分

对复杂因式求导

有些束手无策的复杂因式求导，可能就是被积函数的分子

4 变限积分概念题

存在定理

有可去间断点的函数的变限积分可导，其导数为将间断点补成连续点后的新函数

有跳跃间断点的函数的变限积分不可导

变上限积分函数天生连续，不可能有间断点

综合计算

有1+x²的令x=tant，t=arctanx；三角函数和指数函数相乘的积分，需要连续两次分部积分

需要分部积分时，换元后可以不直接导出来

含e^x考虑前后抵消，把另一部分凑进dx

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