插值

20 0 8年第 2期

福

建电

脑

三次 H r i插值的扩展及其应用 em t e

洪柏娣

(江传媒学院浙江杭州 3 0 1 浙 10 8)

【摘要1:在总结分析三次 H r i em t e插值多项式的基础上，对三次 H r i em t e插值公式进行了推广和扩展。通过改变三次 H r t插值的初始条件。到了扩展的插值多项式计算公式。给出了扩展的三次 H r i emi e得 em t值格式的有理函数的近似表示 e插

方法以及有理函数的数值积分算法。 【关键词】:三次 Hem t插值近似表示数值积分 ri e

1引言 .

。

(), (= () () O=1。1 0= ) 0=0

插值法作为数值分析的理论基础。着十分丰富的内容。有它包括 l rne插值、 e tn值、 em t值、分段低次插值、 a ag g N wo插 H ri e插 样条插值等。它们均在数值计算领域发挥着不同程度的作用。

(), ( ) ( ) ( ) l0= 0= 0=0 l 1=1

,

(),。0= o1= () 0=1 () ( 0=0妒 )

、

7 (),o0:7(=, () 7 0=l7() 7 1 7 0=0: 7。) o经典的插值方法以 T y r值和 L gag al插 o arne插值为代表。 满足这些条件的三次多项式容易构造出来。比如，妒由 T o插值利用函数在定义域内某点处的 0阶至 n阶导数信息 alr 0知妒，缸 B d利用 卜 J卢D a -,=。所以， 得= Id l给出复杂函数或未知函数的近似多项式表达式，arne插值 L gag利用多个离散点的函数值信息给出函数的近似多项式表达式， % () x+1 x=一 () 8进一步根据插值结果对与复杂函数或未知函数相关的理论和应同理可得妒f x 3 j () 9用问题作出讨论。因此 T yo插值和 Lga g插值有着紧密的 alr arn e丸() - =-+ X (0 1)

联系 . a l插值可以看做 L ga g插值的极限形式； a r g Ty r o ar e n L ga e n

1

。

1 .

插值则是 T y r值的离散化形式。 al插 o 在某些实际应用问题中 .为了保证插

值函数能更好的密合原来的函数 .但要求插值函数”点”即插值函数和被插函数不过，在节点上具有相同的函数值 .且要求”切”即两者在节点处而相 .还具有相同的导数值，类插值称作切触插值，者称为 He.这或 r

(一 )

+ r

( 1 1)

访照三次 H r i插值多项式的推导过程可得： em t e

( x )

)

)嘞

)

( 2 1)

m t插值。由于 T yo插值利用的是”点” i e alr一的各阶导数信息， L gag ar e插值利用的” n多点”数值信息 . H r t值即利用函而 emi e插函数值信息又利用导数信息。所以 H r i插值是 T y r值 em t e al插 o和 L g n e值的综合和推广。这里提出的一种新型的三次 ar g插 a

H r i插值多项式是对三次 H r t值公式的推广和扩展。 em t e emi e插

将 ( ) ( 1式代入 (2式得： 8一 1) 1)

由此得到扩展的三次 Hem t插值多项式。 ri e

结合实际数值计算验证了这种新型的三次 Hem t值多项式 3扩展的三次 h r i ri e插 . em t e插值多项式的应用 31理函数的近似表示 .有的正确性。

2三次 H r i . em t值的扩展 e插

例：定函数给

21次 He i插值多项式及其初始条件 .三 r t m e令三次多项式与() %() ()唬+萌 ( )=++ ) () 1式中相应的妒咖为待定的三次式，别满足条件： D 分 应用扩展的三次 H r t emi e插值多项式求对应的插值多项式 P。 j

厂)南 ( x

删

妒o 0= l妒 ( )妒 ( ) ( ), o 1= 0=妒 ( ) 0 1=

妒(=l I0=妒() ) I )。 ():=妒(=0 1妒 0 1

庐 ( ) . o 0=庐 () 1=0 0=1庐 ( ) o1=庐 () (), ( ) () 。 ) 1=l 0= 1= (=0 0

() 2

…隅㈤ 离 南

取— J,,到相应的值如下表：,1得 0

1 0 1

-

根据文献 l的叙述 .易推导出：容

∞

) Yg+￣ t

)+

)+

() 3

. ,∽

一

一

l

0

一

l

其中 D J任意两点，= J勘。是 h x—

由( ) ( )知： 2及 3式

2

2

/ ) O

0

1

0

P( ) Y, ), x y,￣ o= o x (= g( 0=,

)=

f、 4

厂(

一 l

2

0

表 1

一一 l

2

我们把()称为三次 H ri 4式 em t值多项式 B的初始条 e插件。 2 .展的三次 He t插值多项式 2扩 r e mi改变三次 H ri em t值的初始条件 .重新构造三次 H r i e插 em t。插值多项式 )其满足，使

( ) Y ( ) Y ( ) Y, ( ) Y O, O, O l ( )

分别代入 (3式得： 1)

驰

'

…

令尸(铴()锕( hoo ) h 3= x++ y￣(+ ￣x

式中%妒

(

() 6

为待定的三次多项式，别满足条件分