最优化内外点法matlab实现
- 由于题目特殊性实现的不是太好，但是在无不等式约束的情况下可以得到理想结果，日后改进
文章目录
- 实验二： 约束优化
- 实验目的及要求：
- 实验原理：
- 算法1：内点法
- 算法2：外点法
- 实验内容（方法和步骤） ：
- 题目1 编写程序实现外点法（包含源代码和运行截图）
- 外点法函数源代码
- 运行截图
- 题目2 编写程序实现内点法（包含源代码和运行截图）
- 内点法函数源代码
- 运行截图
实验二： 约束优化
实验目的及要求：
熟练掌握内点法和外点法的思想和原理；
编写程序实现内点法和外点法求解极值实例；
实验原理：
在$Matlab $环境下，按照要求编写函数和程序，求解实例，直至取得正确的运行结果。（写出每种算法的步骤）
算法1：内点法
- 给定严格内点x0x_0x0为初始点，初始障碍因子r1=1r_1=1r1=1，给定误差ε>0\varepsilon>0ε>0，并令k=1k=1k=1。
- 构造障碍函数（选择其一）：
- G(x,rk)=f(x)+rk∑j=1l1gj(x)G\left(x, r_{k}\right)=f(x)+r_{k} \sum_{j=1}^{l} \frac{1}{g_{j}(x)}G(x,rk)=f(x)+rk∑j=1lgj(x)1.
- G(x,rk)=f(x)−rk∑j=1llngj(x)G\left(x, r_{k}\right)=f(x)-r_{k} \sum_{j=1}^{l} \ln g_{j}(x)G(x,rk)=f(x)−rk∑j=1llngj(x).
- 求障碍函数无约束极小G(x,rk)G(x,r_k)G(x,rk)。
- 判断精度若：$r_{k} \sum_{j=1}^{l} \frac{1}{g_{j}(x)} \leq \varepsilon 或或或\left|r_{k} \sum_{j=1}^{l} \ln g_{j}(x)\right| \leq \varepsilon,则以,则以,则以x_k为原约束问题近似极小解，停止迭代；否则，取为原约束问题近似极小解，停止迭代；否则，取为原约束问题近似极小解，停止迭代；否则，取x_{k+1}<x_k，并令，并令，并令k{++}$，返回步骤3，继续迭代。
算法2：外点法
取第一个罚因子M1=0.1M_1=0.1M1=0.1 , 允许误差ε>0\varepsilon>0ε>0，令k=1k=1k=1。
求解罚函数P(x,M)P(x,M)P(x,M)的无约束极小问题，设极小值为xkx_kxk。
P(x,M)=f(x)+M{∑i=1m[hi(x)]2+∑j=1l[min(0,gj(x))]2}P(x, M)=f(x)+M\left\{\sum_{i=1}^{m}\left[h_{i}(x)\right]^{2}+\sum_{j=1}^{l}\left[\min \left(0, g_{j}(x)\right)\right]^{2}\right\} P(x,M)=f(x)+M{i=1∑m[hi(x)]2+j=1∑l[min(0,gj(x))]2}判断精度. 若在xkx_kxk点，罚项<ε<\varepsilon<ε，则停止计算，得到原问题 的近似极小点xkx_kxk ; 反之，若存在某一个j(1≤j≤l)j (1\leq j \leq l )j(1≤j≤l)，有−gj(xk)>ε-g_{j}\left(x_{k}\right)>\varepsilon−gj(xk)>ε或存在某$i (1\leq i\leq m ) ，有，有，有\left|{h}{i}\left({x}{k}\right)\right|>\varepsilon则令则令则令M_{k+1} =CM_k$ , (例如 , 可取C= 5 , 10) , 并令k++k{++}k++，返回步骤2 。
实验内容（方法和步骤） ：
题目1 编写程序实现外点法（包含源代码和运行截图）
利用MatlabMatlabMatlab 编写外点算法，实现下列优化问题的求解
{minf(x)=x13+x22s.t. g(x)=x1+x2−1\left\{\begin{array}{l} \min f(x)=x_{1}^{3}+x_{2}^{2} \\ \text {s.t. } g(x)=x_{1}+x_{2}-1 \end{array}\right. {minf(x)=x13+x22s.t. g(x)=x1+x2−1
外点法函数源代码
function [X1, X2] = EPM(f, h)
% EPM 外点法
% f 目标函数
% h 等式约束
M = 0.1; %M值
C = 10; %倍率
eps = 0.001; %误差
syms x1 x2; %定义变量
H = matlabFunction(h*h);%函数句柄while trueP = f + M*(h*h); %构造函数P_x1 = diff(P,x1); %求x1偏导P_x2 = diff(P,x2); %求x2偏导X = solve(P_x1==0,P_x2==0,x1,x2); %解方程组X1 = double(X.x1);X2 = double(X.x2);if M * abs(H(X1, X2)) < eps %判断终止条件break;endM = M * C; %加倍
end
%%%%%%%%%%%% 多个最优解则选择罚项最小的
i = 1;
answer = 10000000;
X = [X1 X2];
[n, ~] = size(X);
for j = 1 : 1 : nif abs(H(X(j, 1), X(j, 2))) < answeranswer = abs(H(X(j, 1), X(j, 2)));i = j;end
end
%%%%%%%%%%% 更新答案
X1 = X1(i);
X2 = X2(i);
end
运行截图
- 输入
>> syms x1 x2
>> f = x1 ^ 3 + x2 ^ 2;
>> h = x1 + x2 - 1;
>> [X1,X2]=EPM(f,h)
- 输出
X1 =0.5486
X2 =0.4514
题目2 编写程序实现内点法（包含源代码和运行截图）
利用MatlabMatlabMatlab编写内点算法，实现下列优化问题的求解
{minf(x)=x13+x22s.t. g(x)=x1+x2−1\left\{\begin{array}{l} \min f(x)=x_{1}^{3}+x_{2}^{2} \\ \text { s.t. } g(x)=x_{1}+x_{2}-1 \end{array}\right. {minf(x)=x13+x22 s.t. g(x)=x1+x2−1
内点法函数源代码
function [X1, X2] = IPM(f, h)
% IPM 内点法
% f 目标函数
% h 等式约束
R = 1; %障碍因子R值
C = 0.1; %倍率
eps = 0.001; %误差
syms x1 x2; %定义变量H = matlabFunction(log(h));%函数句柄
F = matlabFunction(f);%函数句柄
while trueG = f - R * log(h); %构造函数G_x1 = diff(G,x1); %求x1偏导G_x2 = diff(G,x2); %求x2偏导X = solve(G_x1==0,G_x2==0,x1,x2); %解方程组X1 = real(double(X.x1));X2 = real(double(X.x2));if abs(R * H(X1, X2)) <= eps % 判断终止条件breakendR = R * C;
end
%%%%%%%%%%%% 多个最优解则选择目标函数最小的
i = 1;
answer = 10000000;
X = [X1 X2];
[n, ~] = size(X);
for j = 1:1:nif F(X(j,1),X(j,2)) < answer && X(j,1)>0 && X(j,2)>0answer = F(X(j,1),X(j,2));i = j;end
end
%%%%%%%%%%% 更新答案
X1 = X1(i);
X2 = X2(i);
end
运行截图
- 输入
>> syms x1 x2
>> f = x1 ^ 3 + x2 ^ 2;
>> h = x1 + x2 - 1;
>> [X1,X2]=IPM(f,h)
- 输出
X1 =0.5486
X2 =0.4514
- 运行截图
运行截图
- 输入
>> syms x1 x2
>> f = x1 ^ 3 + x2 ^ 2;
>> h = x1 + x2 - 1;
>> [X1,X2]=IPM(f,h)
- 输出
X1 =0.5486
X2 =0.4514
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