2018百度之星程序设计大赛初赛B—

HDU-6383

题目：

度度熊很喜欢数组！！

我们称一个整数数组为稳定的，若且唯若其同时符合以下两个条件：

1. 数组里面的元素都是非负整数。
2. 数组里面最大的元素跟最小的元素的差值不超过 1。

举例而言，[1,2,1,2] 是稳定的，而 [−1,0,−1] 跟 [1,2,3] 都不是。

现在，定义一个在整数数组进行的操作：

* 选择数组中两个不同的元素 a 以及 b，将 a 减去 2，以及将 b 加上 1。

举例而言，[1,2,3] 经过一次操作后，有可能变为 [−1,2,4] 或 [2,2,1]。

现在给定一个整数数组，在任意进行操作后，请问在所有可能达到的稳定数组中，拥有最大的『数组中的最小值』的那些数组，此值是多少呢？

Input

输入的第一行有一个正整数 T，代表接下来有几组测试数据。

对于每组测试数据：
第一行有一个正整数 N。
接下来的一行有 N 个非负整数 xi，代表给定的数组。

* 1≤N≤3×105
* 0≤xi≤108
* 1≤T≤18
* 至多 1 组测试数据中的 N>30000

Output

对于每一组测试数据，请依序各自在一行内输出一个整数，代表可能到达的平衡状态中最大的『数组中的最小值』，如果无法达成平衡状态，则输出 −1。

Sample Input

2 3 1 2 4 2 0 100000000

Sample Output

2 33333333

记A为原数列，A*为由A变化成的稳定数列，那么题目所求的就是 所有A*中的最小值 中最大的一个，把这个值记为ans。

首先可以先考虑能不能直接暴力枚举所有A*，然后求解...... 很明显是不符合实际的。

换种想法，能不能让ans从无穷大遍历到0，暴力枚举所有ans，然后判断这个ans是否可以构成A*。

那么要先解决判断的问题。

题目要求的是：* 选择数组中两个不同的元素 a 以及 b，将 a 减去 2，以及将 b 加上 1。（这里“不同”指的是下标不同）

也就是进行一次减法（-2），必须要进行一次加法（+1），两种操作的次数要相等。那么可以分开操作，然后再来看两种操作的次数。

我们先对原数列A中所有小于ans的数A[i]，做加法，num_p += ans - A[i]

然后对原数列A中所有大于ans+1的数A[i]，做减法，num_m += (A[i] - ans) / 2

这里可能会出现A[i] - ans 是奇数的情况，如：(A[i] - ans) / 2 = 3 / 2 = 1，那么其实这时候，A[i]做完减法后得到的数应该是ans+1，它可以作为这个数列A*的最大值，使得数列A*仍然满足 “稳定” 的条件。（min：ans，max：ans+1）

接下来要对num_p（进行加法的次数）和 num_m（进行减法的次数）做比较：

num_p = num_m 的情况：说明这个ans可以作为稳定数列A*的最小值。
num_p != num_m 的情况：

首先要了解的一点是：

对于一个数列A，如果它的最小值为min（A），那么它可以通过题目所述的两种操作，来得到一个稳定数组A*，其最小值仍为min（A）。具体做法是：我们更新数组A，将A中最小值+1，最大值-2，不断重复这个过程。由于减掉的比加上的多，最终数组A中的最大最小值会不断地相互逼近，直到最小值为min（A）。

那么对于num_p < num_m：此时当加法减法配对后，仍有一些数需要进行减法操作，也就是说，此时的数列A最小值已经是ans了，存在一些数大于ans+1，那么根据上面的结论，这个数列A是可以得到稳定数组的，所以这个ans合法。

对于num_p > num_m ：此时当加法减法配对后，仍有一些数需要进行加法操作，由于我们进行的是-2，+1，也就是总的来说肯定是朝减少的方向进行，既然出现还要加上的操作，只能说明这个ans还太大了，满足不了，得不到稳定数组。

解决完判断的问题，剩下的就是对ans的范围从原先的 0～∞ 进一步缩减。

很明显的上界应当为数列A的最大值max（A）：倘若大于max（A）的话，那么A中所有的数都要往上加才行，由于有减法操作，实现不了；

下界应当为数列A的最小值min（A）：在前面红色的结论已经说明了，ans至少会等于min（A）。

那么可以看出采用的算法应该是二分法，边界：min（A）～ max（A）

代码：

//
//  main.cpp
//  初赛B1004
//
//  Created by jinyu on 2018/8/13.
//  Copyright © 2018年 jinyu. All rights reserved.
//#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;typedef long long  LL;
const int MAXN = 3e5+7;
const long long INF = 0x3f3f3f3f3f3f;long long A[MAXN];
int N;bool judge(LL ans){LL num_p = 0;LL num_m = 0;for(int i = 0;i<N;++i){if(ans > A[i])num_p += ans-A[i];else if(ans+1 < A[i])num_m += (A[i]-ans)/2;}return num_m>=num_p;
}int main(){int T;scanf("%d",&T);while (T--) {scanf("%d",&N);LL R = -1;LL L = INF;for(int i = 0;i<N;++i)scanf("%lld",&A[i]);sort(A,A+N);L = A[0];R = A[N-1];LL ans = -1;while(L<=R){LL mid = (L+R)/2;if(judge(mid)){L = mid + 1;ans = mid;}elseR = mid - 1;}printf("%lld\n",ans);}return 0;
}

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